Hello, je vous demande de l'aide sur un problème de dérivée:

Énoncé: Pour tout entier naturel n, non nul, on définit sur R la fonction fn par fn(x) = x^n / (1 + x²)

Question: Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, f'n(x) est du signe de x^(n-1).

Merci.

Pour la question on voit mal, mais c'est bien la dérivée de fn(x) qu'on demande, soit f ' n(x).

Tu as besoin de:

( x^n ) ' = nx^(n-1)

( u / v ) ' = ( u' v - uv' ) / v²

J'ai déjà essayé tout à l'heure mais le résultat est quelque peu bizarre. Alors, :

u(x)= x^n et u '(x)= nx^(n-1)
v(x)= 1 + x² et v '(x)= 2x

Avec ( u / v ) ' = ( u' v - uv' ) / v² , on trouve :

f 'n(x)= [ (nx^(n-1)) (1+x²) - (x^n) (2x) ] / (1+x²) ²

Et là, je bloque. Je ne sais pas comment résoudre cela.

Ah, et en simplifiant on trouve:

f 'n(x)= [ nx^ (n-1) - (x^n)(2x) ] / (1+x²)

Tu ne pas simplifier comme ça.
A la limite tu peux mettre 2 fractions séparées pour ta dérivée, une en 1+x² et l'autre en (1+x²)² mais tu ne peux pas faire ça.
Essaie de mettre x^(n-1) en facteur pour le numérateur et essaie de voir si le facteur de droite est positif, si c'est le cas, tu as fini ton exercice.

Je peux vraiment faire ça ? Je n'ai qu'un seul x^(n-1) au numérateur, l'autre étant un simple x^n.

Oui mais x^n c'est x*x^(n-1)

dérivée finale :
f'(x) = [x^(n-1) * (-2x²+nx²+n)]/[(1+x²)²]

Ensuite tu déduis que f'(x) est du signe de x^(n-1).

J'ai enfin réussi !
@ South_Killer, Supernova_XT, Prauron et Symposium beaucoup !

Je vous ferai une petite dédicace sur ma copie