Voilà le problème :

Par quel chiffre va se finir : 2 exposant 50 ?

TOUT JUSTIFIER !

2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256
2^9 = 512

Tu vois la séquence qui se répète tous les 5 exposants ?

Oh ouais c'est tout le temps le double ? C'est ça ?

ouais c'est ça

il va finir par un chiffre pair (enfin je crois

Non, tous les 2^1, 2^5, 2^9, ça finira par un 2
Tous les 2^2, 2^6, 2^10, ça finit pas un 4 et ainsi de suite

Donc, normalement, ça finira par un 4

Oui, ça finit par un 4
Tu vois comment le justifier ?

2^3 = 8 = -2 [10]

=> 2^50 = 2^(3*16 + 2) = 4*(2^3)^16 = 4*(-2)^16 = 4*(-2)^(3*5+1) = 8*((-2)^3)^5 = 8*(-8)^5 = 8*2^5 = 32*2^3 = 32*(-2) = -64 = 4 [10]

Euh le problème, c'est que je comprends mais je sais pas comment justifier

50/4 = 4*12+2, ce qui correspond au rang 2
Moi je mettrai un truc du genre.

Tu es en quelle classe ? (c'est juste pour savoir quelle rédaction employer)

Je te propose celle-ci :

2^50 = (2^5)^10 = ((2^5)^5)^2

2^5 = 32

32^5
=(30+2)^5
=(somme de produit dont au moins un des facteurs est 10) + 2^5
=30^5 + 5x30^4x2 + 10x30^3x2^2 + 10x30^2x2^3+5x30x2^4 + 2^5 (si tu veux le détail)

Si l'âge de ta carte de visite est vrai, tu ne connais pas encore (en théorie) la formule du binome, donc tu peux te contenter de dire que l'unité du résultat d'un produit est l'unité du résultat du produit des unités des facteurs. Donc ici 2x2x2x2x2.

Ensuite, même raisonnement :

(32^5)^2 = nombre dont l'unité sera égale à 2x2 donc 4.

Malgré le fait que ça soit lourd comme rédaction, j'espère que c'est compréhensible

Si tu as un niveau Terminale S Spé maths, ou Maths Sup, tu peux utiliser les congruences assez facilement.

On utilisera le symbole " = " pour la congruence.
Il suffit de faire des congruences modulo 10.

2^1 = 2 [10]
2^2 = 4 [10]
2^3 = 8 [10]
2^4 = 6 [10]
2^5 = 2 [10]

Par récurrence immédiate, on voit donc que pour tout entier k, on a:
2^4k = 6 [10]
2^(4k+1) = 2 [10]
2^(4k+2) = 4 [10]
2^(4k+3) = 8 [10]

Donc, soit n un entier naturel.
Si n = 0 [4] alors 2^n = 6 [10]
Si n = 1 [4] alors 2^n = 2 [10]
Si n = 2 [4] alors 2^n = 4 [10]
Si n = 3 [4] alors 2^n = 8 [10]

Or 50 = 2 [4]
Donc 2^50 = 4 [10].

Donc 2^50 se finit par un 4 \o/