Voilà ma question. Quelle est la différence entre un égal et un équivaut ?
Mon prof m'a complètement tout barré un exercice parce que j'avais mis un <=> à la place de =. L'erreur est si grosse que ça ?

Le signe = ne peut être utilisé qu'entre nombres, variables, fonctions... tandis que le symbole <==> s'utilise entre des proposition (par exemple la fonction f(x) est croissante sur son intervalle de définition...). Donc oui ton erreur est "grosse" au niveau mathématique.

Bha c'est assez fortement différent oui.

Le "=", c'est ce que l'on appelle une relation d'équivalence. Ainsi deux réels, deux complexes, ou même de façon générale deux éléments d'un espace métrique vont être liés par la relation d'équivalence si ce sont les même entités. Ca porte donc bien sur des objets.

Maintenant l'équivalence, c'est plutôt un connecteur logique. Ce n'est pas idiot de les confondre, ils sont relativement proches, mais dans le cas de l'équivalence, la relation va déjà non pas porter sur des objets mais sur des propositions. Par exemple la proposition "p et q sont premiers entre eux" est équivalente à la proposition "il existe deux entier a et b tels que ap+bq=1". Cela signifie que si la première proposition est vérifiée, alors la deuxième est vérifiée quoi qu'il arrive et que si la seconde est vérifiée, alors la première est vérifiée quoi qu'il arrive.

Tu vois la différence? La faute est assez grosse parceque non seulement ce n'est pas la même relation, mais en plus elle ne porte par sur les même objets. Mais n'hésite pas à demander des détails à ton prof si ça reste flou pour toi, parceque c'est vrai que c'est quelque chose dont on ne parle quasiment jamais en cours.

Dans mon paragraphe sur le signe =, j'ai fait une erreur : je voulais dire "(...)vont être liés par la relation d'EGALITE si ce sont les même entités".
En l'occurence l'égalité est une relation d'équivalence particulière, mais ça n'était pas l'important.

Le <=> signifie également "si et seulement si" non? Tandis que le = ben porte bien son nom, égal...

Oui "est équivalent à" et "si et seulement si" ont exactement la même signification.
Le si et seulement si est d'ailleurs peut-être plus explicite : on a A SI on a B, càd B entraîne A, aussi noté A=>B ; et on a A SEULEMENT SI on a B, càd A entraîne B, aussi noté B=>A. Le si et seulement si est donc aussi appelé équivalence, et se note naturellement <=>.

En gros, tu peux dire
X=Y <=> Y=X (X égal à Y est équivalent à Y égal à X)
mais pas :
X<=>Y = Y<=> X (lis ça en français tu verras que ça ne veut rien dire !!!)

Le = n'est qu'une relation d'équivalence ??
Bizarre, pourtant il est clairement antisymétrique..

Ah bon ? "a = b" et "b = a" ce n'est pas la même chose peut-être ?

Bha oui elle est aussi anti-symétrique, même si ça n'a pas grand sens dans ce cas précis, puisque ça revient à dire que x=y => x=y
Mais oui c'est juste c'est aussi une relation d'ordre pourquoi?

dunadan--->Il ne remettait pas en question la symétrie de la relation Enfin je ne crois pas.

Que veut dire antisymétrique alors ?

Une relation R est anti-symétrique si :
[xRy et yRx]=>[x=y]

Et elle est symétrique si :
xRy => yRx

Ah ok

Les propositions mathématiques peuvent être vus comme des objets mathématique comme les autres, par exemple comme les morphismes qui ont pour but le classifiant du foncteur des sous-objets (cad l'objet des valeurs de vérité). Donc mettre un "=" à la place d'un "<=>" n'est pas incorrect, mais cela peut déstabilser le correcteur donc il vaut mieux éviter quand même.

Par contre ce que tu a fait, c'est-à-dire mettre un "<=>" à la place d'un "=" est en général incorrect. Ta phrase n'est même pas fausse, elle est mal typée et donc n'a aucun sens.

yaya90
Posté le 15 mai 2009 à 14:55:44
dunadan--->Il ne remettait pas en question la symétrie de la relation Enfin je ne crois pas

Dunadan est un bon, cherche pas

Vous avez pas l'impression que ce quoi vous expliquez est trop compliqué pour le niveau de l'auteur du sujet?

Le égal et le équivalent sont symétriques.
Simplement, le égal sert à donner le résultat d'une opération ou de faire constater une égalité (entre deux points par exemple).

Pour comprendre le signe d'équivalence, il faut savoir qu'il est la combinaison de deux autres signes.

Le premier, le signe =>, est un signe qui veut dire "entraîne", mais qui n'est pas réciproque. Par exemple :

"A est un angle droit => ABC est un triangle rectangle"

On NE PEUT PAS écrire ici :
"ABC est un triangle rectangle => A est un angle droit", ce qui est faux (cela peut être B, l'angle droit).

Le deuxième signe qui le compose est le signe <=, qui signifie "est entraîné par", ou encore "car" et qui est donc le contraire.

"ABC est un triangle rectangle <= A est un angle droit" qui peut se lire "ABC est un triangle rectangle PUISQUE A est un angle droit".

Remarquez bien qu'ici je parle de PROPOSITIONS, pas de calculs. Jamais quelqu'un ne doit écrire un truc du style :

"2 + 2 => 4"... c'est totalement prohibé et justifie la perte de points. En quoi 2 + 2 entraînent-ils 4 ? Ils n'entraînent rien du tout. Maintenant, le résultat de l'opération est 4, il faut pour cela utiliser le =.

Maintenant, pour finir, le signe équivalent à "<=>" est la combinaison de "<=" et "=>" et entraîne lui la RÉCIPROCITÉ entre les deux propositions.

"ABC est un triangle rectangle en A <=> A est un angle droit"

C'est très simple. Un égal signifie que deux objets sont identiques et donc non distincts. Il n'y a aucune relation de cause à effet entre ces deux objets. Un équivaut est l'abréviation de si et seulement si.
Prennons un exemple basique. Si un triangle est rectangle alors il a un angle droit. Si un triangle a un angle droit alors il est rectangle. On peut donc dire qu'un triangle est rectangle si et seulement si il a un angle droit, car il y a une double implication. On peut utiliser le signe de l'équivalence à la place du si et seulement si. Garde donc en tête le moyen mnémotechnique: je peux mettre un signe d'équivalence si je peux reformuler ce que j'écris avec un si et seulement si.

La lampe s'allume si et seulement si j’appuie sur l'interrupteur.

J'appuie sur l'interrupteur si et seulement si la lampe s'allume.

La lampe s'allume égal j’appuie sur l’interrupteur.

J'appuie sur l’interrupteur égal la lampe s'allume.