• comment montrer que Z/4Z et (Z/2Z)^2 sont les seuls groupes à 4 éléments (à un isomorphisme près je suppose...)

• Décrire tous les groupes commutatifs de cardinal 12.

Pourriez-vous m'indiquer une démarche à suivre pour résoudre ces 2 exos ?
Je n'ai aucun recul sur le cours, c'est pourquoi je ne vois pas du tout comment procéder. (d'ailleurs mon cours est très vide je trouve...)

merci

Il faut regarder le théorème de structure des groupes abéliens finis (ou théorème de Kronecker) qui dit:
Tout groupe abélien fini est isomorphes à un produit direct de Z/a_iZ tels que a_i divise a_(i+1).

Donc si tu cherches les groupes abéliens d'ordre 4, il faut regarder les diviseurs de 4, ie (2,2)
puis tu regardes toutes les possibilités de construire des produits directs sous la forme du théorème.
Ici, tu as: Z/4Z et Z/2Z X Z/2Z

Autre exemple:
groupes abéliens d'ordre 60:
décomposition en facteurs premiers: 60= 2^2.3.5
Les possibilités de combinaisons pour le théorème sont:
60
2, 2.3.5
Pas d'autre, car si tu mets le facteur 3 en premier , il ne divisera pas le reste (2^2.5)
idem si tu mets 2^2 ou 5
Donc les groupes abéliens d'ordre 60 sont:
Z/60Z et Z/2Z X Z/30Z

Je te laisse les groupes d'ordre 12 en exo ^^

mmmmh il ne me semble pas avoir vu ce théorème dans mon cours.... Il va falloir que je me replonge dedans...

Une autre question :
Si A est un idéal principal qui n'admet qu'un seul idéal maximal aA, montrer que si I est un idéal de A , alors, il existe un unique n>=0 tel que I=A^n.

Et enfin une petite aide sur la dernière qui m'ennuie : donner la liste des Z-module de longeur 3 et de cardinal <=75

En tout cas merci pour ta réponse, cela m'aide beaucoup

Si tu n'as pas vu ce résultat, je ne sais pas trop alors... Et ne sachant pas ce que tu as vu c'est difficile de te donner des pistes.

Dans mon premier post, j'avais oublié de préciser qu'il faut montrer que tout groupe d'ordre 4 est abélien (en fait, c'est vrai pour tout groupe d'ordre p^2 où p premier).

Sinon pour tes autres questions:

• concernant les anneaux:

-montre que A contient un unique idéal maximal ssi l'ensemble des éléments non-inversible forme un idéal
-Soit M cet idéal, alors comme A principal, M est de la forme M={ u.a^n où u inversible, a dans A}
-Soit I idéal de A alors I inclus à M donc tous les éléments de I sont sous la forme u.a^n
Montre qu'alors I={u.a^n où n>m} pour un certain m naturel.
Alors I=M^m

• concernant les modules, je ne m'y connait pas trop. Mais j'ai regardé quelques résultats et je pense avoir un plan de preuve correct.

Soit M le Z-module
-Z principal, donc tout Z-module de type fini est une somme directe de Z/pZ
(résultat de ton cours peut-être, sinon ne pas suivre cette piste).
-M est de longueur 3, donc montrer que:
M=Z/p1Z + Z/p2Z + Z/p3Z
(indice: Z/p1Z+Z/p2Z peut-être vu comme sous-module à iso prés)

-Après utiliser un argument de cardinalité.
ex: pour ordre=75, un unique Z module qui est:
Z/5Z + Z/5Z + Z/5Z

En tout, les Z-modules de longueurs 3 sont:
les Z/p1Z + Z/p2Z + Z/p3Z
où p1.p2.p3= ordre du Z-module

zut, vraiment désolé, je me suis trompé dans l'énoncé En fait un "a" a sauté quand j'ai tapé C'est pour ca que je ne comprenais pas tout ce que tu disais à ce sujet...
Je recommence :

Si A est un idéal principal qui n'admet qu'un seul idéal maximal aA, montrer que si I est un idéal de A , alors, il existe un unique n>=0 tel que I= a^n A.

Pour ce qui est des modules je vais réfléchir. merci

J'ai aussi mal compris une autre partie de l'énoncé
Est-ce que tu pourrais me fixer le cadre:
tu dis A idéal principal mais dans quoi?
(un anneau B quelconque?)
A priori, un idéal principal ne peut pas avoir un unique idéal maximal inclus (c'est vrai seulement si on met des conditions sur le générateur de A).

Le problème prend plus de sens si on regarde A un anneau principal.
Si tel est le cas il faut suivre ce que j'ai écrit dans mon post précédent (si tu ne comprends pas, dis-le je le réécrirais autrement)

j'ai un exercice du même genre et c'est un Anneau principal et pas un idéal. Par contre je n'ai pas très bien compris les explications , vous pourriez réexpliquez s'il vous plaît! Merci d'avance

Bonjour!
1) comment montrer que Z/4Z et (Z/2Z)^2 sont les seuls groupes à 4 éléments, que Z/6Z est le seul groupe commutatif de cardinal 6, les groupes commutatifs de cardianl 12 et de cardinal 108.
2)Donner la liste des Z-modules de longueur 3 et cardinal 12,108,6 et =<26
3)Si A est un anneau principal qui n'admet qu'un seul idéal maximal aA, montrer que si I est un idéal de A , alors, il existe un unique n>=0 tel que I=A*a^n.
4)pour tout 0 différent de b appartenant à A, on définit v(b) comme le plus grand n>=0 tel a^n divise b
Monter que v(bb')=v(b)+v(b')
Montrer que v(b+b')>=min(v(b),v(b')) et que v(b+b')=min(v(b),v(b')) pour v(b) différent de v(b')
Pourriez-vous m'indiquer une démarche à suivre pour résoudre ces 4 exos ?

foliata93 >> je crois que j'ai exactement le dm que toi à rendre dans pas trop longtemps.... yaurait moyen que tu m'ajoutes sur msn ? (cf carte de visite)

1) je part d'un résultat du théorème fondamental des groupes abéliens finis qui dit:
Soit G groupe abélien fini alors il existe des entiers a1,a2,...,ak >1 tels que:
G=Z/a1Z X ... X Z/akZ et ai divise ai+1 pour tout i
Si tu n'as pas vu un résultat semblable, il faut faire autrement.

Je l'applique sur les groupes abélien d'ordre 12
D'abord, on décompose en facteurs premiers:
108=2.2.3.3.3

Après les groupes abéliens sont tous les groupes sous la forme du théorème. Il faut juste trouver toutes les combinaisons.
ici: Z/108,
Z/3Z X Z/6Z X Z/6Z
Z/2Z X Z/54Z
Z/6Z X Z/18Z
pour le cas des groupes d'ordre 4, il faut montrer qu'en plus un tel groupe est forcément abélien

2) on a un thm de structure des Z-modules semblable à celui sur les groupes abéliens finis:
tout Z-module s'écrit comme une somme directe de Z/aiZ (même condition sur les ai).
De nouveau, si tu n'as pas le résultat ce que je fais n'est pas correct...
Il te reste à montrer que si la longueur est 3, alors ton module est de la forme: Z/a1Z X Z/a2Z X Z/a3Z
Puis à chercher les modules possibles pour les différents ordres

3)D'abord montre que tout élément de A qui ne sont pas dans aA sont inversible.
Tu peux en déduire que tout élément de A s'écrit sous la forme a^n.x où n entier positif ou nul, x élément inversible
Et que aA correspond aux éléments de la forme a^n.x où n >0.
Soit I idéal de A, il est principal donc I=(b) pour un b dans A, or b=a^n.x mais x inversible donc I=(a^n)=a^n.A

4) Tu as toujours que tes b sont de la forme a^n.x
Donc v(b)=n.
Après le reste, ce sont juste des règles sur les exposants

Si tu as des questions, n'hésite pas

div>>c bon je t'ai ajouté!!Je suppose alors que tu fais LM370 et que tu es a jussieu enfin je pense!!

Ar-Pharazon>>Merci ça m'a beaucoup aidé si j'ai d'autres questions je te dirai
Merci encore :D

foliata >> oui c'est bien ca.
Par contre j'ai pas eu de notification d'ajout. Donc soit je t'ai déjà et je t'ai bloqué (ce dont je doute^^) soit tu ne m'as pas bien ajouté (mais j'ai vérifié l'adresse est correcte)

ha oui dsl c'est moi qui me suis trompé!!!

Ar-Pharazon >> "3)D'abord montre que tout élément de A qui ne sont pas dans aA sont inversible. "

prenons b dans A \ aA (donc qui n'est pas dans aA).
alors bA est un idéal, donc comme aA est le seul idéal maximal, alors on a bA inclus dans aA.
Supposons b inversible, alors on a bA=A d'ou bA inclus dans A.

Donc soit je me suis planté quelque part (ou?), soit ton assertion est fausse.

oups... Il fallait lire :
"d'ou A inclus dans aA."
donc A=aA ce qui va a l'encontre du fait que aA est maximal....

"prenons b dans A \ aA (donc qui n'est pas dans aA).
alors bA est un idéal, donc comme aA est le seul idéal maximal, alors on a bA inclus dans aA."

C'est ici que c'est faux:
ce n'est pas parce que aA est maximal que aA contient tout les idéaux.
ex: b=1, bA=A qui n'est pas inclus à A
idem si b est inversible: bA=A.

Regarde l'idéal engendré par a et b (b élément de A\aA)
c'est un idéal qui contiendra aA
par maximalité de aA, (a,b)A=A
de là, on peut en conclure que b est inversible

merci beaucoup

dernière question : j'ai besoin de construire un isomorphisme de (Z/2Z)^2 dans un groupe G à 4 éléments (dont 2 de ses éléments ont pour ordre 2.

Comment faire ???

ah nan c'est bon j'ai trouvé.

merci encore

Pour "comment montrer que Z/4Z et (Z/2Z)^2 sont les seuls groupes à 4 éléments", t'as juste à construire les différentes tables possibles d'un groupe de cardinal 4, et tu vois qu'il n'y en a que deux, isomorphes à Z/4Z et (Z/2Z)^2.