Bonjour j'ai un petit exo de complexes mais je ne sais pas comment m'y prendre.

J'ai P(z)=z^3-z^2-4

Il faut tout d'abord que je montre que 2 est une racine évidente de P.

Puis factorisez. P : P(z)=(z-zo)Q(z) en donnant les valeurs de Zo et le polynome de Q de degré 2.

Il faut enfin que je dise si les racines sont réelles ou complexes et les trouver.

Je ne vois pas comment m'y prendre donc si qq'un pouvait m'aider je lui en serais reconnaissant.
Merci d'avance.

Avec a = 1 car le coefficient devant z^3 vaut 1.

Et le coefficient constant qui est -4, vaudra après développement -2c, d'où c=2.

Donc il te restera à trouver b.
Et tu peux le faire comme pour j'ai fait avec a et b, tu développes juste les termes qui donneront un x.

En fait il faut connaître le cas général pour retrouver ce qu'a fait Captain_Barbell.

Soit P un polynôme de degré n.
Soit x0 une racine simple de P.
Alors il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que:
P(x) = (x-x0)Q(x)

Pour le retenir c'est simple, tu te dis que P(x0) = 0.
Or quand tu factorises de cette façon tu retrouve bien P(x0) = 0

Il faut donc que je fasse avant tout P(2) pour montrer que 2 est une racine évidente de P ?

Et si c'est une racine, tu peux alors factoriser par x-2

Pour P(2) j'arrive à zéro donc 2 est bien une racine de P.

Par contre je ne comprends pas trop pour la factorisation. Je ne vois pas comment arriver à ça : P(z)=(z-zo)Q(z)

Ton polynôme P est de degré 3.
Donc si tu l'écris sous la forme (x-2)Q(x), alors Q est de degré 2.
Il te reste à déterminer les coefficients de Q.

Pour ceci, tu peux utiliser quelques petits raisonnements comme je l'ai fait plus haut, ou bien faire comme te l'a proposé Captain_Barbell: poser Q(x) = ax² + bx + c et résoudre directement

Donc voilà ce que j'ai fait :

Q(z)=az^2+bz+c
donc :
P= (z-2)(az^2+bz+c)
P= az^3+bz^2+cz-2az^2+2bz+2c
P= az^3+bz^2+cz-2(az^2+bz+c)
P= az^3+bz^2+cz-az^2+bz+c

Je ne suis pas sur de mon raisonnement et arrivé ici je tourne en rond.