je bloque sur cette intégrale : ʃ1/(1+cos²(x)) dx

Voila, si quelqu'un peut m'aider

intégrale(1/(1+cos²(x)) dx *

Classe ?

L2 maths appliquées

Quelles sont les bornes de l'intégrale ?

de 0 à pi/2

http://fr.wikipedia.org/wiki/Règles_de_Bioche

as tu essayé les règles de bioche ?

C'est ce que j'aurais fait

t=cos(x)

Il te reste intégrer -1/[(1+t²)*sqrt(1-t²)]

Tu intégres par parties, en sachant que la primitive de -1/(1+t²) est arctan(t) et... tu vois ce qu'il arrive

-arctan(t) *

gaffeauspoil je ne pense pas que ça soit une bonne idée, car on se retrouve à calculer l'intégrale de x*Arctanx/(1-x²)^3/2 et c'est moche

En faisant le changement t = tan(x/2) on se retrouve a devoir intégrer (1+t²)/(1+t^4)

Ouè c'est ce que j'était en train de voir

ouè je suis tombé aussi sur (1+t²)/(1+t^4) que j'ai décomposé en éléments simples, ce qui donne :
((1/2)/(x²+x*2^(1/2)+1))+((1/2)/(x²-x*2^(1/2)+1)),
mais c'est pas très utile

Moi j'ai pas osé décomposer en éléments simples c'est trop chiant

J'ai réussi, je te donnes les grandes lignes.

Tu effectues le changement de variable t = tan(x/2), tu te retrouves avec l'intégrale de (1+t²)/(1+t^4).

A partir de là tu décomposes en éléments simples mais en restant en complexes.
Tu vas avoir des nominateurs et des dénominateurs dépendant de i.

Ensuite tu intègres normalement, tu trouveras du ln.

Il te reste plus qu'à utiliser ln(-1) = -i*Pi

Comme résultat j'obtiens Pi/(2V2) (V = racine)

C'est brutal

Et inutile, car une application judicieuse des règles de Bioche nous conduit bien plus vite à la solution.

Pour info : le changement de variable t=cos x n'est pas le bon. Car quand on applique les règles de Bioche à l'intégrale d'une fonction f, on ne doit pas vérifier l'invariance de f(x) mais bien celle de f(x)dx. Donc le changement x -> -x change le signe de dx. Donc ça ne marche pas ici.

On voit qu'en fait, le bon changement de variable est t=tan(x). Ce qui nous ramène à l'intégrale entre 0 et l'infini de 1/(2+t²), laquelle se calcule via le CDV u=t/sqrt(2) et s'intègre en Arctan, ce qui donne bien Pi/2sqrt(2) comme résultat.

(sqrt = squareroot = racine carrée)

Respect