pourquoi cette formule a été diviser par 3?: (πr².h)/3

(pi*r2*h)/3

help me please

Tu parle du volume d'un cône ?

Pourquoi ça a été divisé par 3, et bien parce-que Pi*R²*h ça donne le volume d'un cylindre, et pas d'un cône...

Et si tu veux une explication plus rigoureuse, il suffit d'intégrer le volume de ton cône et tu retrouveras bien la formule Pi*R²*h/3

Tu te places en coordonnées cylindriques.

Tu a V = triple intégrale de r*dr*dtéta*dz
où les bornes sont:
r: de 0 à R
téta: de 0 à 2Pi
Z: de 0 à h

On a donc:
V = int(Pi*r²*dz, 0, h)

Or pour un cône on a r = -Rz/h + R

D'où:
V = Pi*int((-Rz/h+R)²dz, 0, h)
V = Pi*int((R²z²/h² + R² - 2R²z/h)dz, 0, h)
V = Pi*(hR²/3 + hR² - hR²)
V = Pi*h*R²/3

Autre méthode :

dV = rdr.dthéta.dz

V = int(rdr, 0, r(z)).int(dthéta, 0, 2pi).int(dz, 0, h)

r(z) s'obtient par Thales. Juste de la géométrie de réduction. Le rayon évolue dans le cône. Plus tu t'élèves et plus r diminue : r(z) = Rz/h.

V = 2pi.int((r²(z)/2)dz, 0, h) = (2pi.R²/h²).int(z²dz, 0, h) = Pi*h*R²/3

Sinon une autre méthode. La méthode d'intégration par "empilement" :

L'aire d'un cercle en fonction de la hauteur dans le cône s'écrit : S(z) = Pi.r²(z) = Pi.R².z²/h².
Tu n'as plus qu'à intégrer cette chose de 0 à h. C'est un empilement de disques de plus en plus petits.

V = int(S(z), 0, h) = (Pi.R²/h²).int(z².dz, 0, h) = Pi*h*R²/3

Ça revient au même mais avec une logique d'empilement.

Sinon pour montrer que dV = rdr.dthéta.dz tu utilises le Jacobien (valeur absolue du déterminant du Jacobien) pour plus de rigueur...
En gros pour passer de {{{dx.dy.dz à {{{rdr.dthéta.dz.

merci!