Bonjour,

Voilà je dois étudier la fonction f(x) = (2x^3-7x²+3x-3)/(x-2)².
Je calcule donc sa fonction dérivée avec la formule f'=u'v-uv'/v² ou u(x) = au numérateur et v(x) = le dénominateur et je trouve :
f'(x) = (2x^4-16x^3+49x²-50x)/(x-2)^4.
(x-2)^4 > 0 pour tout x, donc le signe de la dérivée dépend du numérateur, or je ne vois pas comment étudier le signe d'un polynôme de degré 4. oO
On peut toujours factoriser le numérateur ,ça fais x(2x^3-16x²+49x-50) mais même problème, je suis incapable d'étudier le signe d'un polynôme de degré 3 (sauf si je connaitrais les racines mais normalement elles sont toujours données et pas à calculer), seulement de degré 2.

Est-ce quelqu'un pourrait me dire si ma dérivée est bonne et comment faire ?

Merci d'avance. ^^

Il ne fallait pas développer le numérateur de la dérivée :
u(x) = 2x^3 - 7x² + 3x - 3 ; u'(x) = 6x² - 14x + 3
v(x) = (x - 2)² ; v'(x) = 2(x - 2)
Donc u'v - uv' = (6x² - 14x + 3)(x - 2)² - 2(2x^3 - 7x² + 3x - 3)(x - 2)
On voit qu'on peut déjà mettre (x - 2) en facteur.
J'ai pas fini le calcul, mais tu dois pouvoir t'en sortir plus facilement comme ça.

Oui, on peut factoriser le numérateur de la dérivée par x à la fin et on tombe sur un polynôme de degré 2, bien plus facile à résoudre.

Merci, avec ta méthode je trouve au numérateur
(x-2)[(6x²-14x+3)(x-2)-2(2x^3-7x²+3x-3=
(x-2)(2x^3-26x²19x)
x(x-2)(2x²-26x+19)

J'ai donc un polynôme du second degré que j'arrive à résoudre merci. ^^

Tu peux faire sauter le (x-2) du numérateur, avec le (x-2)^4 au dénominateur, ça deviendra un (x-2)^3.
Refais le calcul du numérateur, seul le terme en x² est bon dans ton résultat.