Bonjour, je dois faire l'exo suivant en dns:
http://hdehaan.free.fr/mecanique/mecanique_3/m_3_14/m_3_14_enon.htm
Je sèche un peu sur la premiere partie de la question 1...
La RFD me donne ma=Bmv^2+P/v, mais après... J'ai l'impression d'avoir tout essayé
Si quelqu'un avait un idée, même une piste ^^

Intègre

Pour la vitesse limite tu détermines v tel que a=0

le vitesse limite ça va ^^
par contre intégrer c'est à ça que j'ai pensé mais... pour l'intégrale de Bm*v^2+P/v entre 0 et t j'ai du mal (c'est surement un truc con mais j'ai beau retourner le problème je vois pas :x)

Bin a = dv/dt = d²x/dt²

Y'a pas d'intégrales à faire Juste une primitive

Exemple : La primitive de x² c'est x^3/3

Le PFD donne : ma = - Bmv² + P/v car la force de résistance s'oppose au mouvement

mv' = -Bmv² + P/v
mv'v = -Bmv^3 + P
v'v + Bv^3 = P/m

Solution particulière : v = (P/Bm)^(1/3)

Equation sans second membre : v'v + Bv^3 = 0
v' + Bv² = 0
v'/v² = -B
(-1/v)' = B
-1/v = Bt + c (c = cte)
v = -1/(Bt + c)

La solution générale est donc : v = (P/Bm)^(1/3) - 1/(Bt + c)

A t = 0, v = 0 => (P/Bm)^(1/3) - 1/c = 0 => c = (P/Bm)^(-1/3) = 1/vl avec vl = (P/Bm)^(1/3)

=> v = vl (1 - 1/(1 + Bt/vl)) = vl ((Bt/vl)/(1 + Bt/vl))
=> v = Bt/(1 + Bt/vl) => vl = vl Bt/(vl + Bt)

Quand t -> + oo v -> vl

Oh oui

j'ai oublié que v dépendait du temps... Faut resoudre ça comme une équadiff

Oui

Petite coquille :

=> v = Bt/(1 + Bt/vl) => v = vl Bt/(vl + Bt)

Merci mais l'énoncé demande x en fonction de v, pas v en fonction de t (je suppose que s'ils demandent ça ça doit être plus simple?)
A la base j'avais fait v=f(t) aussi (par séparation des variables, c'est brute mais ça passe). Et ce qui m'inquiète c'est que je trouve pas pareil, même à la machine Je trouve un truc assez immonde en fait, mais j'ai peut-être fait une fausse manip...

PS j'avais pas mis de - car dans ma tête B était négatif

Il ne te reste plus qu'à intégrer v pour avoir x.
OK pour B < 0, y a qu'à changer son signe

Ok mais si j'intègre v j'aurai x=f(t), mais je veux x=(v)

OK, j'avais pas bien lu ton énoncé, désolé. A ma décharge, j'ai la crève même si c'est pas vraiment une excuse...

Tu peux toujours y aller à la bourrin en exprimant t en fonction de v puis en remplaçant dans x.

Sinon, peut-être y-a-t-il moyen à partir du théorème de l'énergie cinétique, il faudrait tester. J'avoue que comme ça, a priori...

Petite idée :

ma + Bmv² = P/v (j'ai pris B > 0)

v = dx/dt = (dx/dv)(dv/dt) = (dx/dv)a => a = v/(dx/dv)

mv/(dx/dv) + Bmv² = P/v

mv/(dx/dv) = P/v - Bmv²

dx/dv = mv/(P/v - Bmv²) = mv²/(P -Bmv^3)

dx = (mv²/(P - Bmv^3)) dv

dx = (1/3B) d(Bmv^3)/(P - Bmv^3)

x = (-1/3B) ln (P - Bmv^3) + cte

x = 0 si v = 0 => cte = 0

x = (-1/3B) ln (P - Bmv^3)

Quand v -> (P/Bm)^(1/3) x -> +oo

Tu as ta vitesse limite en +oo

"v'v + Bv^3 = P/m

Solution particulière : v = (P/Bm)^(1/3) "

Ca m'a choqué. Pour une équation non linéaire, je doute que ça marche...

Ça m'a l'air bon comme ça Merci beaucoup !

@kaim j'ai un doute aussi mais en l'occurrence c'est pas grave :d

PS: j'aurais plutot avec x=0 et v=0, cte=-ln(P)/3B