Salut tout le monde, j'ai un devoir a rendre pour la rentré et je bloque beaucoup !

Enoncé :

Dans un repère orthonormée (O; i; j), on donne les points A(6;0), B(0;6) et C(-3;0).

J'ai réussi les deux premières questions qui consistent a faire une figure et à trouver l'équation du cercle c' de centre O' circonscrit au triangle A'B'C' avec A' milieu de [BC], B' milieu de [AC] et C' milieu de [AB].

Il me reste les questions 3, 4 et 5, les voici :

3) On note P,Q et R les projetés orthogonaux de A, B et C respectivement sur [BC],[AC] et [AB]. Montrez que P, Q et R sont trois points de c'.

4) On note H l'orthocentre du triangle ABC et I,J et K les milieux respectifs de [HA], [HB] et [HC]. Montrez que I, J et K sont des points de c'

5) On note O le centre du cercle c circonscrit au triangle ABC et G le centre de gravité de ABC. Montrez que les points O', H, O et G sont alignés.

Voici un screen avec une figure et toutes les informations dont je dispose :

http://www.noelshack.com/uploads/FigureDMmath040211.JPG

Je ne demande pas forcement les réponses mais surtout la démarche a suivre pour réussir les questions, parce que là je sèche.

PS : Je pense que les barycentre sont utiles dans la question 5, non ?

Merci à ceux qui répondront.

Pour la question 3, tu peux y aller bourrinement (avec des calculs de coordonnées, du genre tu calcules les coordonnées des points P, Q, R et tu vérifies que la norme des vecteurs O'P, O'Q et O'R vaut le rayon), mais j'imagine qu'il y a des propriétés avec les cercles circonscrits (c'est quand même pas mal comme propriété ta question 3).

J'y est pensé mais je ne sais pas comment je pourrais calculé les cordonnée de P, Q et R. Tout ce que l'on peut dire sur eux c'est que se sont des pieds de hauteurs (projeté orthogonaux), mais a partir de là je ne vois pas comment calculé leurs coordonnées.

Je m'étonnais que les pieds des hauteurs et les milieux puissent être cocycliques (on dit souvent, si c'était vrai, ça se saurait !).
Eh bien, ce cercle s'appelle le cercle d'Euler !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_d%27Euler

Si tu voulais vraiment faire ce calcul, tu calcule l'équation de la droite (AB) par exemple, et tu cherche l'équation de (RC), c'est à dire l'ensemble des pts M tels que CM.AB=0
Après il suffit d'intersecter ces deux droites.

Mais Wikipedia doit proposer une solution plus... élégante.

"tu cherche l'équation de (RC), c'est à dire l'ensemble des pts M tels que CM.AB=0"

Je comprend ce que tu veut dire sauf cette phrase, je vois pas comment une équation peut être un ensemble de points. Peut tu plus détailler s'il te plaît.

Tu poses M(x,y)
CM.AB=0 => (x+3)*(-6)+y*6=0
=> -6x+6y-18=0 soit (RC): x-y+3=0

Je comprend la démarche mais de quelle formule vient

CM.AB=(x+3)*(-6)+y*6

Parce que je vois pas d'où ça vient.

C'est la formule du produit scalaire dans une base orthonormée.

(x,y).(x',y')=xx'+yy'

Okay merci, ta pas autre chose pour les autres question, et pense tu que les barycentres sont la solution de la dernière question ?

Pour la question 3, il s'agit de la droite d'Euler.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_d%27Euler

(décidément, cercle d'Euler, droite d'Euler... )

Le problème c'est que Euler j'ai jamais vus donc je vais pas balancer un truc du genre : "d'après la relation d'Euler"

Alors voilà ce que j'ai fait pour trouver les coordonnées de P, mais je bloque a un moment :

Equation de (BC) :

vecteurBC(-3-0; 0-6) VecteurBC(-3;-6)

BC est vecteur directeur de (BC) donc :

(BC) : -6x+3y+c=0 avec B(0;6)
c=-18 donc :

(BC) : -6x+3y-18=0

Jusque là j'ai bon je pense.

J'utilise ta méthode avec les produits scalaires, ainsi

AM.BC=0
-3x-6y=0
x+2y=0

Ici aussi je pense que c'est bon, c'est après que ça bug.

P appartient à (AP), donc il vérifie à la fois x+2y=0 et -6x+3y-18=0.

Je fait le système (la barre verticale sépare les deux lignes )

{-6x+3y-18=0 | x+2y=0

{-6x+3y-18=0 | x=-2y

{12y+3y-18=0 | x=-2y

{15y=18 | x=-2y

{y=18/15=6/5 | x=-2y

{y=6/5 | x=-12/5

Et je trouve p(-2.4;1.2), le problème c'est que géogébra me donne p(-1.2;3.6).

Et je n'arrive pas a trouver mon erreur, merci de m'aider même si tu as déjà fait beaucoup !

La technique marche pour Q, mais pas pour P et R

AM.BC=0
-3x-6y=0
x+2y=0

Attention AM(x-6,y) : tu as oublié le -6...

AM.BC=(x-6).(-3)-6y=-3x-6y+18=0
donc x+2y-3=0

x+2y-6=0 plutôt

ok car A(6;0), c'est bon j'ai compris, je up si j'ai besion a la question 4 !