Voila j'ai un DM assez difficile , J'ai juste réussi les 1er questions
Problème 1
Partie I
1) Calculer les expressions suivantes :
a= 4+4-8
b= 2+2-4
c= 2-2+2+2
2) Développer (5x+2)(x^3+1)
Partie II
1) Soit f(x)=x²+1
a) Etudier les variations de f sur ℝ
b) Tracer la courbe .
2) Calculer la dérivée n ème de 1/(1-x)²
3) 16+32 = a , Que vaut a ?
Partie III
Soit K un corps et E un K -espace vectoriel de dimension n ∗ ∈ℕ .
Partie I – Description d’un sous-espace vectoriel en intersection d’hyperplans
1. Soit H
1 et H
2 deux hyperplans de E .
1.a On suppose H H
1 2 ≠ . Justifier H H E
1 2 + = .
1.b Déterminer dimH H
1 2 ∩ selon que H H
1 2 = ou non.
2.a Soit H un hyperplan de E et F un sous-espace vectoriel de E .
Déterminer dimF ∩H selon que F ⊂ H ou non.
2.b Soit p ∗ ∈ ℕ et 1, , p H … H des hyperplans de E .
Montrer que 1 dim( ) p H ∩…∩H ≥n−p .
3. Soit F un sous-espace vectoriel de E , distincts de E . On pose p = dimF .
On se propose d’établir que F peut s’écrire comme intersection de n − p hyperplans.
Dans un premier temps on suppose F ≠ {o} .
3.a Montrer qu’il existe une base 1 ( , , ) n B = e e
… de E telle que ∀1 ≤i ≤ p e ∈ F
i
, .
On pose, pour tout i ∈{p+1,…,n} , 1 1 1 Vect( , , , , , ) i i i n H e e e e − + =
… … .
3.b Montrer que les H
i sont des hyperplans de E .
3.c Observer que p 1 n F H H + = ∩…∩ .
3.d On suppose maintenant que F = {o} .
Montrer que F peut s’écrire comme intersection de n hyperplans
Problème 2
Partie 1
1) 1+1 ?
Partie 2
Partie II
Soit n un entier naturel non nul et a0 ,a1,…,an des points deux à deux distincts du segment [−1,1]. On pose
pour tout k ∈{0,1,…,n} :
0
n
j
k
j k j
j k
X a
L
= a a
≠
−
=
− Π .
1.a Quel est le degré de k L ?
1.b Calculer ( ) k i L a pour tout i ∈{0,1…,n} , i ≠k .
Calculer aussi ( ) k k L a .
1.c Montrer que la famille 0 ( ) k k n L ≤ ≤ forme une base de [ ] n ℝ X .
2. On se donne une fonction réelle f définie sur [−1,1], et on pose :
0
( )
n
k k
k
P f a L
=
=Σ
Montrer que P est l’unique polynôme de [ ] n ℝ X tel que pour tout i ∈{0,1,…,n} : ( ) ( ) i i P a = f a . On
dit que P est le polynôme interpolateur de la fonction f aux points 0 1 , , , n a a … a .
On désire maintenant évaluer la qualité de l’approximation réalisée lorsqu’on approche la fonction f par le
polynôme P défini ci-dessus. Pour cela on suppose que f est une fonction de classe Cn+1 et on pose
1
0
( )
n
n i
i
X a +
=
Π =Π − .
3. Soit x ∈[−1,1] . On désire établir l’existence d’un ξ ∈[−1,1] tel que :
1 ( 1) ( )
( ) ( ) ( )
( 1)!
n n x
f x P x f
n
ξ + + Π
− =
+
3.a On suppose { 0 } , , n x ∈ a … a . Etablir le résultat.
3.b On suppose { 0 } , , n x ∉ a … a et on introduit la fonction F définie par :
1 ( ) ( ) ( ) ( ) n F t f t P t K t + = − − Π
avec K constante réelle choisie de sorte que F(x)=0 .
Justifier l’existence de la constante K et observer que F possède au moins n +2 valeurs d’annulation
distinctes. En déduire l’existence d’un ξ ∈[−1,1] tel que (n 1) ( ) 0 F ξ + = et conclure.
3.c En déduire que 1 ( 1)
( 1)!
n n f P f
n
+ + Π
− ≤
+
.
4. Comment doit-on choisir les points 0 1 , , , n a a … a pour que n+1 Π soit minimale ?
