Salut, petite question sur laquelle je bloque, malgré de nombreuses minutes d'acharnement dessus...

O ( theta ) est un réel donné.
La suite un est définie pour tout entier naturel n par

u(o) = 2 cos O et u ( n+1) = V(2+un)
( V signifie racine de )

Montrer, par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un = 2 cos ( 0 / 2^n )

J'ai réussi à démontrer que c'est vrai pour zéro, mais le prouver pour n +1, j'ai beau retourner la formule dans tous les sens, je vois pas du tout...
Si quelqu'un pouvait m'aiguiller ( une formule à utiliser pour le cosinus m'aiderait beaucoup surtout )

Formules d'addition de trigo : cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1
Ça devrait t'aider.

Je ne vois pas ou utiliser cette formule dans le calcul,
Il faut bien partir, pour prouver en n+1, de :
u (n+1) = 2 cos ( O / 2^(n+1) ) ?
Dans ce cas je comprends pas ou trouver un cos(2x)

Il faut bien partir, pour prouver en n+1, de :
u (n+1) = 2 cos ( O / 2^(n+1) ) ?

Non ca ,c'est ce que tu veux prouver. Il faut partir de u(o) = 2 cos O et u ( n+1) = V(2+un)
et remplacer un par un = 2 cos ( 0 / 2^n ) puis c'est ton hypothese de récurrence au rang n

Voilà comment j'ai fait :
u (n+1) = V(2+un) = V ( 2+2cos( 0 / 2^n ) )
= V ( 2 + 2cos ( 2O / 2^(n+1 ) ) ) ( J'ai multiplié par deux le dénominateur et le numérateur de la fraction dans le cos )

= V ( 2 + 2 * ( cos²( O / 2^(n+1) ) -1 )
= V ( 2 + 2cos²( 0/ 2^(n+1) ) -2 )
= V ( 2cos²( 0 / 2 ^(n+1) )

Et là je ne vois pas comme je peux revenir à la formule que je veux trouver... me suis-je trompé dans le développement ?

Autant pour moi je viens de comprendre mon erreur :
V ( 2 + 2cos ( 2O / 2^(n+1 ) ) )
=V ( 2 + 2 * 2 ( cos²( O / 2^(n+1) ) -1 )

Du coup on obtienr V ( 4 cos²( 0 / 2^(n+1) )
L'hérédité est donc vérifiée.

Merci beaucoup à vous deux

Au temps pour moi, pas autant pour moi : )