Bonjour,

J'ai un problème en maths je ne vois pas trop comment commencer cet exercice. En fait on n'a jamais vraiment fait d'exercices sur les systèmes autonomes différentiels

http://img214.imageshack.us/my.php?image=dsc01151fg3.jpg

Mon système autonome différentiel est

x'(t) = x^-1 + y^-1
y'(t) = x^-1 - y^-1

Merci par avance

Personnellement je serai passé par une réduction d'endomorphisme.

Comme Tidus réduction d'endomorphisme

Ok. Mais pouvez vous être à peine plus précis en me disant comment commencer ? Merci.

Tu peux mettre ton système sous la forme :

X'(t) = A.X(t) + B(t)

Avec X'(t) la matrice colonne prenant x'(t) et y'(t).
Avec A la matrice 2x2 prenant les coefficients constants.
X(t) la matrice colonne prenant les x(t) et y(t).
B(t), on s'en fout tu n'as pas de seconds membres.

Ici le but est de diagonaliser A. C'est à dire qu'il existe une matrice D = P.A.P-1 ou encore A = P.D.P-1.
Il suffit de remplacer A par P.D.P-1.

-> X'(t) = P.D.P-1.X

D se trouve en 2 sec. Après l'astuce c'est de multiplier partout par P-1. P-1(X') devient Y' et P-1(X) devient Y.
En gros tu finies par avoir : Y'(t) = D.Y(t).

En posant Y=P-1(X) tout devient limpide, puisque tu tombes sur l'équation de la solution générale :

X = PY avec P la matrice de passage.

A toi de jouer !

Je rappelle que la matrice de passage, tu l'obtiens en diagonalisant. C'est la matrice composée des vecteurs propres de A.

Bien de faire de l'algèbre linéaire sur des systèmes linéaires

non linéaires*

Regarde son énoncé avant de parler, 1).

C'est où que c'est écrit que phi et psi sont linéaires?

C'est où que c'est écrit que phi et psi était non linéaires ?

étaient*

Si ce n'est pas dit qu'elles sont linéaires, c'est qu'elles ne le sont pas forcément....

Merci Tidus. En fait je connais effectivement cette méthode mais je pensais que c'était réservé à des systèmes linéaires mais moi j'ai du x^-1 et y^-1 donc pas linéaire ?

x'(t) = x^-1 + y^-1= phi(x,y)
y'(t) = x^-1 - y^-1= psy (x,y)

Mais d'où tu le sors tes x^-1 et y^-1 ? Je vois pas ça dans l'énoncé. T'es à la question 1 ?

Oui en fait ca c'est l'énoncé "général" et à tous les élèves il a filé un système.
Pour moi c'est ca :
x'(t) = x^-1 + y^-1= phi(x,y)
y'(t) = x^-1 - y^-1= psy (x,y)

Ahhhh d'accord ! Bon bah je sais pas.

D'accord pas grave! Merci quand même pour ta contribution.