Bonsoir tout le monde, j'aurais besoin d'aide pour un DM dont voici l'énoncé:

Thèmes : Centre du cercle inscrit. Orthocentre. Barycentres

ABC est un triangle. On note
BC = a, CA = b et AB = c.

L'objectif de ce problème est de trouver des réels (x, P, ,y affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, ou l'orthocentre H de ABC,soit barycentre des sommets.

Partie A. Centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices

A' est le pied de la bissectrice de BAC. A' est donc équidistant des côtés de l'angle (propriété caractéristique des points de la bissectrice). On note d cette distance, et h la longueur de la hauteur issue de A.

1. a) Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes.
b) Déduisez-en que A'C b

2. Prouvez que A' est le barycentre de (B, b) , (C, c) .

3. B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et de ACB. Exprimez B' comme barycentre de C et A d'une part, et C' comme barycentre de A et B d'autre part.

4. Démontrez que le point I est le barycentre de (A, a) , (B, b) et (C, c) .

Partie B. Orthocentre, point de concours des hauteurs
Pour la démonstration, on se place uniquement dans le cas où les angles de ABC sont tous aigus.

1. a) Prouvez que KCKB = tan C
tan B
b) Justifiez que K, pied de la hauteur issue de A, est le barycentre de (B, tan B) , (C, tan C) .

2. Donnez des résultats analogues pour les pieds L et M des hauteurs issues de B et C.

3. Prouvez par une méthode analogue à celle de la partie A que l'orthocentre est le barycentre de (A, tan A), (B, tan B) et (C, tan C) .

Note : Ce résultat reste valable dans le cas de tout triangle, non rectangle.

Et la photo de la figure: http://img510.imageshack.us/img510/5144/photo0014wl7.jpg

Voici ce que j'ai trouvé:

A]1.a)
Aaa'b = (BA'*h)/2 où (c*d)/2
Aaa'c = (b*d)/2 où Aabc - Aaa'b = [(a*h)/2] - [(b*d)/2]

2)D'après 1.b), bA'B = cA'C
Donc bA'B - cA'C = 0 (ici se sont des vecteurs)
DOnc A' est le barycentre de (B,b), (C,c)

3)B' est sur [AC]. Donc B'A et B'C sont colinéaires et de sens contraire.
Donc B'A = -B'C
Donc B'A + B'C = 0
B' est le barycentre de A et C.

De même pour C' est le barycentre de A et B

B]1.b) d'après 1.a), KBtanB = KCtanC
Donc KBtan B - KctanC = 0
Donc K est le barycentre de (B,tanB), (C, tanC).

Et c'est tout, j'ai vraiment besoin d'aide