Bonjour je bloque sur une démonstration par récurrence :

u0=a et Un+1=Un(2-Un)

a est un réel tel que 0<a<1

Il faut montrer par récurrence que pour tout entier n 0<Un<1

Et je n'arrive pas à la montrer au rang n+1...

tu supposes que 0<Un<1, et on te donne Un+1=Un(2-Un)... il n'y a plus rien a faire

Initialisation : Uo=a
==> Po est vrai .
Heredite :
SupposonS Pour un n entier P .
Un+1 = Un(2-Un)
Comme d'apres l'hypothese 0>Un>1
un(2-un) < (2-Un)Un
Or 1>2-Un >2
...
0>(2-Un)Un > 1

Un+1= 2... =D

help j'ai rien compris à ce que tu m'as dit don-linko :
"un(2-un) < (2-Un)Un " --> C'est la même chose ???!!

"0>Un>1 " --> C'est le contraire

étudie la fonction y=x*(2-x) pour x entre 0 et 1

Mal lu >___> Je voulais dire Un(2-Un) < 2-Un
Tu montres a partir de Un+1=Un(2-Un) .
Avec l'hypothese que cette propriete est vraie .

Et tu dois avoir 1>2Un(Un)>0
Et Puis tu peux dire qu'elle s etend au rang n+1 .

Don-Linko ce que tu as fais est faux

Bon déjà tu supposes 0 < Un < 1

On va déjà montrer que Un+1 > 0.
Pour cela tu utilises 0 < Un < 1
Donc -1 < -Un < 0
Donc 1 < 2-Un < 2
Donc 0 < Un+1 < 2

Tu as la première inégalité.
Maintenant montrons que Un+1 < 1
Cad montrons que Un(2-Un) < 1
Donc 2Un - Un² - 1 < 0
Donc Un² - 2Un + 1 > 0
Cad (Un - 1)² > 0

or comem c'est un carré on a toujours (Un - 1)² >= 0.
Mais comme Un =/= 1 (hypothèse de récurrence), alors inégalité stricte.

South_Killer !