f(x) = (6x+6) / ( x²+3)

1) Donner le domaine de définition : R

2) Montrer que pour tout nombre x on a f(x) <= 3.

J'y arrive pas. Quelqu'un peut me guider ? Merci

En quelle classe es-tu ?

Pour ton domaine de définition, cherche, s'il y en a, des valeurs qui annulent le dénominateur. 1/0 = infini, dans ce cas la courbe est coupée en ce point.
Pour l'autre, utilise la dérivée de f(x).

Seconde pourquoi ?

SuperNova > Le domaine de définition, t'inquiète pas j'ai cherché et je pense bien que c'est R, mais comme je suis en seconde, je ne sais pas ce qu'est une dérivée

Nova : C'est pour ça que je lui demandais sa classe : il ne peut pas dériver.

2) On veut montrer que f(x) <= 3, ie que f(x)-3 <= 0, ou encore que ((6x+6) / ( x²+3)) -3 <= 0. ((6x+6) / ( x²+3)) -3 = ((6x+6)-3(x²+3))/(x²+3) = (6x+6-3x²-9) / (x²+3) = (-3x²+6x-3)/(x²+3). On a que x²+3 est positif pour tout x de R, et on s'intéresse donc au signe de -3x²+6x-3 selon les valeurs de x. Et là, comme tu es en seconde, je ne vois pas ce que tu peux faire...

1/ Le domaine de définition correspond à l'intervalle sur laquelle existe ta fonction. Pour que ta fonction existe, il faut vérifier que le dénominateur ( x²+3) ne puisse pas être nul.

Pour cela, faisons : ("<=" lire inférieur ou égal)
( x²+3) <= 0
<=> x² <= -3
donc impossible car un carré est toujours positif, donc f est définie sur R.

2/ C'est bizarre! J'ai essayé de résoudre f(x) <= 3, pour arriver sur quelque chose comme x²>=0, mais je suis arrivé avec x²>=2x : ce qui est faux car si x=1 alors x²=1<2*1
Si quelqu'un sait pourquoi j'arrive à ça, j'aimerai bien savoir!

(-3x²+6x-3) = -3(x-1)(x-1)

En plus, j'ai mis une boulette : 1/0 = indéterminé, pas l'infini.

Mon prof force beaucoup pour les DM, et j'avoue que je bloque : Bourreau, au début j'ai fait ça, mais je bloque à la fin et pour musashi en essayant de résoudre l'inéquation, je trouve aussi un résultat bizarre.

1. Tidus1188 Voir le profil de Tidus1188
2. Posté le 29 décembre 2008 à 15:04:41 Avertir un modérateur
3. (-3x²+6x-3) = -3(x-1)(x-1)

On sait tous le faire, ça. Seulement, d'où le sort-il ? Si ce n'est pas demandé par l'énoncé, il ne peut pas l'inventer à son niveau.

-3x² + 6x - 3 = -3(x² - 2x + 1) = -3(x-1)²

Niveau 3ème...

Tidus > Mais à ce moment là comment je peux prouver que f(x)<= 3
T'inquiète aps que j'ai essayé ça aussi.

C'est vrai Tidus. A voir des méthodes plus efficaces, on en oublie les fondamentaux.
Ainsi, (-3x²+6x-3)/(x²+3) = (-3(x-1)²)/(x²+3), or (x-1)² => pour tout x de R, d'où -3(x-1)² <= pour tout x de R, et par conséquent (-3(x-1)²)/(x²+3) =< 0 pour tout x de R. On a bien que f(x) <= 3 (pour tout x de R, one more time).

• d'où -3(x-1)² <= 0 pour tout x de R

Mais t'inquiètes je bluff un peu parce qu'au départ j'avais cherché les racines pour rebondir sur la factorisation.

f(x)<=3
(6x+6)/(x²+3) <= 3
6x+6 <= 3(x²+3)
6x+6 <= 3x²+9
-3x²+6x <= 9-6
3(-x²+2x) <=3
-x²+2x <= 1
-x²+2x-1 <=0
x²-2x+1 >=0
x²+1 >= 2x

et la je dirais que c'est évident, un carré +1 est toujours plus grand que 2x! Mais ça fait pas vraiment démonstration!

1. Tidus1188 Voir le profil de Tidus1188
2. Posté le 29 décembre 2008 à 15:17:45 Avertir un modérateur
3. Mais t'inquiètes je bluff un peu parce qu'au départ j'avais cherché les racines pour rebondir sur la factorisation.

Ah ok, et après tu me sors "Niveau 3ème... " avec un petit smiley à la Mary, genre "c'est évident, t'es con". Enfoiré.

Ma démonstration est parfaite, sinon, inutile de chercher plus loin.

Merci de votre aide, ce qui nous fait donc que 3 est le maximum de f(x)... Et le minimum c'est quoi alors ?

Domaine de définition = là où le dénominateur ne s'annule pas.
On résout: x²+3 = 0 <=> x² = -3 impossible
Donc la fonction est définie sur R tout entier.

Montrer que (6x+6) / ( x²+3) <= 3
Ben tu résoud quoi:
(6x+6) / ( x²+3) <= 3
6x+6 <= 3x² + 9
2x + 2 <= x² + 3 (j'ai divisé par 2 des deux côtés de l'inégalité)
-x² + 2x -1 <= 0
x² - 2x + 1 >= 0 (attention on multiplie par -1 donc on change le sens de l'inégalité)

or on remarque que x² - 2x + 1 = (x-1)²
Donc on a:
(x-1)² >= 0 ce qui est toujours vrai pour un carré.

Donc pour tout x appartenant à R, f(x) <= 3