Bonjour,
Comme vous le savez de nombreux Troll font leur apparition sur le faite que 0.999...=1 ou 0.999...=/=1 (j'insiste sur le 0.99... a l'infini) .

Donc voilà un gars a sorti cette demo (0.999...=/=1), je n'ai pas le niveau pour dire si elle est juste ou non donc je demande au bon matheux de la vérifier.
Merci d'avance.

Démonstration:

Avant tout, le signe "<=" signifie "inférieur ou égal à" et "<=>" signifie "équivaut à".
Je note E(x) la fonction "Partie entière" qui à tout x de IR associe l'entier immédiatement inférieur ou égal à x. On a donc: E(x) <= x < E(x)+1
Pour ceux qui font un peu de prog, ça correspond à la fonction "floor".

On considère x appartenant à IR, n appartenant à IN

Montrons que E(x*10^n) est l'unique entier tel que :
E(x*10^n)/(10^n) <= x < (E(x*10^n) + 1)/(10^n)

Pour tout entier p:
p/(10^n) <= x < (p+1)/(10^n)
<=>
p <= x*10^n < p+1
<=>
p = E(x*10^n)

(Si vous doutez de cette première démonstration, vous pouvez vérifier en prenant plusieurs valeurs de x et de n...)

Appliquons le théorême à 0.9999...

On prend donc x=0.9999... et je choisis n=1
(Vous pouvez prendre n'importe quel valeur entière positive pour n)

On a donc: E(x*10^n) = E(0.999...*10) = E(9.9999...) = 9

D'où:

E(x*10^n)/(10^n) <= x < (E(x*10^n) + 1)/(10^n)
<=>
9/10 <= 0.9999... < 10/10
<=>
0.9 <= 0.9999... < 1

Donc 0.9999... =/= 1

Sauf que le passage aux limites ÉLARGIT LES INÉGALITÉS (je mets en majuscule car mon prof de maths l'a gueulé plusieurs fois pour que ça rentre bien. ).

Si 1=0.999..n fois..999 je pense que ça se saurait.

Il y a toujours des trucs qui sont pas clairs dans ce genre de démos.

Déjà je ne vois pas ici pourquoi on a un quotient avec 10^n au dénominateur.

En toute logique dans ton bordel ca serait p/10^n +1 et non le tout sur 10^n

La meilleure démo est celle avec la série géométrique somme des 9*10^(-n) n allant de là où il faut à l'infini. La on trouve qu'un éventuelle 0.999999999... = 1.

Le truc est que de toute façon 0.9999999... n'existe pas. Il y a un théorème qui le dit il me semble . Et s'il n'existe pas c'est qu'en fait ce nombre c'est 1 .

Pas le temps de tout lire (de toute facon PC khrass en math non ? ), mais dans ces demos, il y a toujours toujours toujours un petit "oubli", genre une inegalité stricte qui devient ouverte, on prend une suite comme etant egale a sa limite, ou encore on divise par une expression litterale mais qui vaut 0...

Il y a quand même plus simple comme démo pour montrer que 1 = 0.999... :
10*0.999... = 9.999... = 9 + 0.999...
donc 10*0.999... = 9 + 0.999...
9*0.999... = 9
donc 0.999... = 9/9 = 1
Et il n'y a absolument pas d'erreurs (genre une division par 0 cachée quelque part). L'égalité 1 = 0.999... est donc vraie.

Après comme l'a dit angelaxe, je ne suis pas sûr qu'un nombre ayant une infinité de chiffres existe.

Pour la énième fois, l'égalité est juste, simplement l'écriture "0.999..." n'est pas conventionnelle.
En réalité, le 0.99.. c'est 0.9*(10^0+10^-1+10-2+...+10^-n+...) C'est à dire 0.9 fois la somme de la série géométrique {10^-n}, n€N.
En tant que série géométrique de raison strictement inférieure à 1, la raison étant 0.1, elle est trivialement convergente, donc ça somme est effectivement définie, et vaut 1/(1-0.1)=1/0.9=10/9.
Donc fois le 0.9 qu'on avait en facteur, cela fait bien 1.

Ensuite, si vous voulez des démonstrations moins rigoureuse, tu peux tout simplement dire que 0.99...=3*0.33..=3*1/3=1

Et si tu as absolument besoin d'un argument d'autorité, je suis en maths spé.

Vos démonstrations (je ne nie pas qu'elle soit juste) se base sur des sommes de nombres infini. Peut-on faire une telle chose.
Enfin ma question était de savoir si cette démonstration (celle que j'ai posté) est juste ou fausse.

Mon prof de maths (de Maths Spé MP donc) nous a dit qu'effectivement 0.999... (infini) = 1, donc s'il l'a dit, c'est qu'il a raison et je le crois

oui mon prof de fac nous l'a dit aussi:
0,9999...(à l'infini) est bien égal à 1.
Et des nombres qui sont infinis, ça existe bel et bien, par exemple 1/3=0,3333... (à l'infini). Ca ne s'arrete jamais.

Dunadan, Pi a une infinité de chiffres non ?

J'ai galéré comme un porc, mais j'en enfin trouvé :

http://capes-math.univ-rennes1.fr/cours-pdf/decimaux.pdf

Proposition 1.3 et 1.4 : cette proposition affirme que 0.9999 à l'infini n'est pas un développement décimal de 1. Le développement décimal de 1, c'est 1.

D'ailleurs on a : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal

1 possède donc deux « développements décimaux illimités » périodiques : 1,000000... et 0,9999.... Selon la définition d'un développement décimal illimité sur , seul sera retenu le premier développement illimité, le second s'appelant un développement impropre.

En toute rigueur on ne peut pas écrire 0.99999... = 1 car 0.999999... "n'existe pas".

Merci angelaxe grâce à toi je me rappelle de ce que mon prof nous a dit.

Il nous a dit que le developpement décimal illimité propre de 1 était 1.00000... et le developpement décimal illimité impropre de 1 était 0.99999... mais que c'était quand même égal à 1

Enfin bon, même les mathématiciens eux-même ne sont visiblement pas d'accord pour dire si 0.999999999... = 1 ou pas

Apparemment mon approche est lié au caractère restrictif que je donne à la définition d'un développement décimal

ACE44 : Ta démo est fausse car E(9.9999...) n'est pas égale à 9 (mais à 10 même si tu ne peux l'affirmer à ce stade de ta démo).
De toute façon, comme l'ont écrit les gens ci-dessus, 0,9...=1 ; ainsi toute tentative de démonstration du contraire est vouée à l'échec...