Soit U la suite numérique définie par U0=0 et U1=1

et pour tout entier naturel n:
U(n+2) = 3U(n+1) - 2Un

( U(n+2) = U indice (n+2) )

Démontrer que pour tout entier naturel n, Un est un entier naturel et :
U(n+1) = 2Un + 1
En déduire le PGCD de deux termes consécutifs de la suite U.

Je n'arrive à rien, à part la première question où me demande de trouver les premiers termes

U2=3
U3=7
U4=15
U5=31
U6=63

Help !

Ça sent la récurrence.

Oui comme souvent avec les suites

Mais là je vois pas vraiment comment, surtout pour montrer que Un est un entier naturel

Personne n'a d'idée ? Juste pour me dire par où commencer ?

Perso je montrerais qu'elle est croissante. C'est pas trop compliqué par récurrence. Et vu que U0 = 0 alors tous les termes sont positifs (et entiers vu qu'on n'a que des multiplications et soustractions d'entiers).

Ok merci donc par récurrence j'ai réussi à montrer U(n+1) > Un (au premier rang --> hypothèse de récurrence), j'ai ensuite montrer que U(n+2) > U(n+1) donc la suite est croissante.

Ensuite je dis que comme UO= O et U1=1
On peut dire que tous les termes sont positifs et entiers vu qu'on n'a que des multiplications et soustractions d'entiers.

Ensuite, encore par récurrence, je montre que U(n+1) = 2Un +1 (vérifié au premier rang --> Hypothèse de récurrence)
je montre ensuite que la propriété est transmissible avec U(n+2) = 2 U(n+1) + 1

Bon après pour déterminer le PGCD de deux termes consécutifs de la suites U je vois pas trop comment faire. Ils sont premiers entre eux non ?

Est-ce que ça marche avec le théorème de Bezout ?

Je pensais faire comme ça :
Soient a et b deux termes consécutif de la suite Un tel que a<b

D'après la relation précédente on peut dire que :
b= 2a + 1

Or 1*b -2*a = 2a+1 - 2a = 1
Donc d'après le théorème de Bezout a et b sont premiers entre eux. Donc PGCD(a;b)=1

Ca va ?

Oui ils sont premiers entre eux. Ça se voit très bien avec l'algorithme d'Euclide.

Tu penses que c'est correct avec le thm de Bezout ?

Ensuite on me demande de prouver que Un=2^n -1

Je l'ai fait par récurrence, j'ai montré que U(n+1)=2^(n+1) -1

Et on me demande ensuite :
"Les nombres 2^n-1 et 2^(n+1) -1 sont-ils premiers entre eux ?

--> Ces deux nombres correspondent à deux termes consucutifs de la suite U (Un et U(n+1) ) et d'après la réponse précédente on a montrer que deux termes consécutifs de la suite U étaient premiers entre eux.
Donc 2^n-1 et 2^(n+1) -1 sont premiers entre eux.

Tu peux le faire avec Bezout, mais je trouve que c'est plus direct avec Euclide. L'essentiel est de montrer qu'ils sont premiers entre eux, peu importe comment.

Pour la suite, c'est bon.

D'accord merci

Pour la suite, on me demande de vérifier que pour tout couple d'entiers naturels (n,p) :
U(n+p)=Un(Up+1)+ Up

On a démontré précédemment que Un=2^n -1

donc U(n+p)= 2^(n+p)-1

et Un(Up+1)+ Up = (2^n -1)(2^p -1 +1) + 2^p - 1
= (2^n -1)(2^p) + 2^p - 1
=2^p (2^n -1+1) -1
=2^p * 2^n -1
=2^(p+n) -1 = U(n+p)

Ensuite il faut que j'en déduise que pour tout couple d'entiers (n,p) :
PGCD(Un,Up)=PGCD(Un,U(n+p))
Je bloque là

Là ça sent l'algorithme d'Euclide. Tu vas pas pouvoir y couper cette fois.