à tous!

Voilà tout à l'heure en révisant mes maths j'ai rappidement dérivé sur une petite question de transcendance qui me turlupine^^

Voilà je me suis penché sur la transcendance de e^pi (oui je sais, ambitieux projet )

Enfin bref, j'attrape une feuille et je commence à gratter quelque idées, et je tombe rappidement sur quelque chose de ... complètement impossible -_-, le truc c'est que je ne vois pas mon erreur...

Voilà ce que j'ai fais :

e^2pi = (e^pi)²

= [(e^(pi*i)^-i]²

= [(-1)^-i]²

= [(1/(-1)^i]²

= 1/[(-1)^i]²

= 1/(-1)^2i

= 1/[(-1)²]^i (le problème est ici a mon avis...)

= 1/1^i

= 1

Je crois que le problème vient plutôt du fait que tu utilise des puissances complexes. Il faut savoir que les puissances complexes ne sont pas aussi simple que les puissances réelles:
on les définit en fonction du logarithme complexes (dans R, on peut faire le même donc ce n'est pas cela le problème...).
Le logarithme complexes n'est lui-même définit sur tout C sauf une demi-droite.
Et la valeur du logarithme dépend de la demi-droite choisie.
Donc en particulier les exposants complexes aussi. Je crois que tu ne peut donc pas utiliser toutes les règles d'exposants que tu utilises (tout du moins sans vérification rigoureuse...)

N'étant pas un spécialiste de l'analyse complexe, je ne peux pas te dire exactement ce qui ne marche pas.

En ce qui concerne ta question sur la transcendance de e^pi, sache que c'est une question encore non-résolue
De même que la transcendance de pi^e, pi+e, pi*e ,...

Juste pour savoir, c'est quel niveau de maths que tu révise ?

Oui en effet la transcendance de ces nombres est aujourd'hui inconnue, c'est pour cela que je trouvais amusant de chercher des "pistes" mais bon...

Par contre quand à pi*e et pi+e, on peut au moins affirmer que l'un des deux est transcendant de manière assez simple...

Si on considère le polynome P(x) = x² -x(pi+e) + pi*e
Et qu'on suppose pi*e et pi+e algébrique, alors P est un polynome à coefficient algébrique.

Or on sait que l'image d'un nombre transcendant par un polynome à coefficient algébrique est transcendante.

On s'attend donc à ce que P(pi) soit transcendant.

Or P(pi) = pi²-pi(pi+e) + pi*e = 0

Or 0 algébrique, donc l'hypothèse de départ est fausse et donc pi*e et/ou pi+e doit être transcendant.

Sinon pour ma question, si quelqu'un voit

Polynome =/= trinome

Je n'ai jamais dis le contraire

Ah d'accord je vois pourquoi tu as dis ca...

Je rappelle qu'un trinôme n'est jamais qu'un polynome de degré 2... tout comme x est un polynome de degré 1, ou fonction affine, et dans ce cas précis fonction linéaire

(a^p)^q = (a^q)^p ssi a stricment positif. C'est là qu'est l'erreur je pense.

1. -Stef_ Voir le profil de -Stef_
2. Posté le 13 décembre 2008 à 20:53:14 Avertir un modérateur
3. Juste pour savoir, c'est quel niveau de maths que tu révise ?

Bis (oui j'aimerai bien savoir)

Euler-Gauss-God
Posté le 13 décembre 2008 à 22:32:55 (a^p)^q = (a^q)^p ssi a stricment positif. C'est là qu'est l'erreur je pense.

Oui je suis vraiment distrait, j'avais totalement zappé ca, et je m'en suis rendu compte en calculant

((-1)²)^i = 1^i = e^(i*ln(1)) = 1

et

((-1)^i)² = (e^(-pi))² = e^(-2pi) ...

tsss ou avais-je la tête? ^^

Sinon pour mon niveau, je suis en term S.

OUPUTAINDECAKEOFRUI

En terminal S ??
Jamais entendu parler de transcendence ??!!
(je suis en MPSI)

Normal, on aborde pas ça en cours car c'est pas ce qu'il y a de plus utile, mais c'est toujours sympa à savoir pour la culture personnelle.

Ouais voilà, disons qu'en maths et en physique en term je me fais chier... alors pour éviter de perdre mon temps et de de me "brider", j'essaie de prendre un peu d'avance, et j'adore ca donc bon, pourquoi se priver^^

ssjgoku1
Posté le 14 décembre 2008 à 13:15:13 En terminal S ??
Jamais entendu parler de transcendence ??!!
(je suis en MPSI)

On voit pas la transcendance, même en MPSI?
Mais pourtant la transcendance est évoquée dès la term je crois... me semble que mon prof nous en avait parlé pour e... me trompe-je...

Bref sinon un nombre transcendance (Oh my god je vais apprendre qq chose à un MPSIen??^^) c'est un nombre qui n'est solution d'uncun polynome du style :

p(x) = a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ... + a1x^1 + a0 = 0

avec ai des nombres entiers et n>1.