Bonjour, j'ai un petit problème pour mon exo d'entrainement à mon interro

a et b sont 2 entiers tels que a² + 2b soit un carré parfait
1) Demontrer que 2b est le produit de 2 nombres pairs

Facile a² + 2b = n²
2b = n²-a² = (n-a)(n+a) et on montre que n a la meme parité que a donc (n-a)(n+a) est le produit de 2 nombres pairs

Mais la question suivante est bien plus dure

Montrer que a² + b est la somme de 2 carrés parfaits
J'y arrive pas

Pouvez vous m'aider plz? Merci d'avance!

Salut,

Je suppose qu'il faut montrer que a² + 2b carré parfait => a² + b somme de 2 carrés parfaits (sinon ça ne marche pas)

a² + b = (a² + 2b) - b

Par hypothèse, a² + 2b = n² et b = (n² - a²)/2, donc a² + b = (n² + a²)/2. D'après a), n et a ont même parité, donc le nombre (n² + a²)/2 est bien entier.

Clairement, il existe des entiers u et v tels que n = u + v et a = u - v. En effet, il suffit de choisir u = (n + a)/2 et v = (n-a)/2 (ces deux nombres sont bien entiers car n et a sont de même parité).

Dans ce cas, on obtient (n² + a²)/2 = u² + v², donc par transitivité, a² + b = u² + v². CQFD

Merci beaucoup de ton aide! Je pense avoir compris la démarche!!!!

Au plaisir