Salut tout le monde.

Voila en général je n'aime pas trop demander de l'aide sur internet mais la je suis complétement bloqué sur un devoir maison de maths terminale spé (je suis en term S spé maths)

Je dois montrer que x²-7y²=3 n'a pas de solution entieres. Je n'arrive pas. Je suppose qu'il faut faire par l'absurde mais je n'aboutis à rien. Donc j'aimerais que quelqu'un me donne une piste pour bien démarrer.

Ensuite, j'ai un autre exo sur l'irrationalité. En gros, je dois montrer que racine de n(n entier) est irrationnel ou entier. Que les racines d'un polynome qui sont rationnel sont forcement entieres, que 2 rac(5)+rac(7) est irrationnel et que cos (pi/9) est irrationnel.

Franchement, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre. A part pour racine de n car en cours on a fait racine de 3 donc après c'est grosso modo la meme chose. Dans mon bouquin il y a un TD sur ça mais ça ne m'aide pas du tout (enfin j'arrive toujours pas).

Par exemple j'ai vu que pour montrer que les racines d'un polynome sont rationnelles alors elles sont entieres il faut supposer que la racine est rationnele (donc racine=p/q avec p et q entier) et non entiere puis montrer que q=1. Donc j'ai compris le principe mais je n'arrive pas à montrer que q=1.

Voila le polynome en question (après j'ai une autre question sur les polynome en général mais je pense que si j'ai la réponse pour un polynome particulier il s'agirat de la meme méthode pour un autre polynome):

x²+ax+b=0

Je précise que j'ai calculer les racines possibles du polynome et que cela ne m'a pas aidé.

Voila merci de vos réponses et désolé pour mon orthographe mais la j'en ai vraiment marre depuis hier je suis sur ce devoir maison et sur 3 exo j'en ai fait qu'un seul...

Rien qu'à voir l'énoncé, je dirais ça

Recherche les restes de la division de 3-x² par 7

Ou plutôt x²-3^^

Merci d'avoir répondu si vite.

Donc si j'ai bien compris ton raissonnement. (En plus j'ai vraiment l'impression que c'était franchement pas dur mais comme souventy en arithmétique si tu vois pas le truc au début tu galéres dans des dévellopements inutiles lol)

On a (E): x²-7y²=3 équivaut à (x²-3)=7y²

Supposons qu'il existe (x;y)(x et y entier) solutions de (E)
Alors on a (x²-3)=7y².

Or y est entier donc y² est entier. Et x est entier donc
(x²-3) est entier. Donc 7 divise (x²-3).

Ensuite on fait la disjonction des cas (x=7p; x=7p+1; x=7p+3.....x=7p+6) et on montre que (x²-3) n'est jamais divisible par 7 (j'ai commencé juste pour les 1ers cas et pour l'instant (x²-3) n'est jamais divisible par 7)donc dire que 7 divise (x²-3) est absurde donc (E) n'a pas de solution dans Z².

(d'ailleurs une question au passage j'ai toujours pas compris qu'est que Z². Z est l'ensemble des entier relatif mais z² kézako ?)

Bref, encore merci de m'avoir répondu tu m'as sortit d'un sacré pétrin. Il ne reste plus que l'exo sur l'irrationnalité.

C'est tout simple pour Z/Z²
On dit x et y appartiennent à Z
Mais pour un couple, on dit (x;y) appartient à Z*Z, ou Z²
Quand tu parles d'un triplet tu dis Z^3 etc...

Oui il faut étudier les restes modulo 7 quand
x = 0 [7]
x = 1 [7]
...
x = 6 [7]

Et tu montre que x² - 3 n'est jamais congru à 0 modulo 7, donc l'équation n'admet pas de solutions entières

Je up juste mon topic pour dire que j'ai trouvé la preuve pour l'irrationnalité de racine de n grace à mon livre.

Il me reste à prouver que si une racine d'un polynome à coefficient entier est rationnelle alors cette racine est entiere. Avec mon livre j'ai pu cerner le pb. Il faut dire que u=racine du polynome=p/q avec p et q 1ers entre eux. Ensuite on montre que q=1 et donc p/q est entier.

J'ai compris le raisonnement (c'est d'ailleurs par là que je partais sans avoir vu le bouqin) mais je n'arrive absolument pas à montrer que q=1. J'ai beau cherhcer dans tout les sens, dévelloper, factoriser .... je n'aboutit à rien.

Donc voila comme tout à l'heure j'aimerais une piste pour débuter (et comme tout à l'heure je sens que c'est simple mais faut y penser).

J'ai d'autre question aussi que je n'arrive pas à faire mais je continurait à chercher moi même meme si je ne pense pas trouver le résultat (je suis sur ce DM depuis ce matin). M'enfin le but c'est pas de demander tout sur Intenet.

u = p/q
u²+au+b=0
p²/q² + ap/q + b = 0
p² + apq + bq² = 0
Or uq = p

u²q² + auq² + bq² = 0
q²(u²+au+b) = 0 = u²+au+b

Donc q² = (u²+au+b)/(u²+au+b) = 1
D'où q = 1 ou -1

Donc p/q est un entier

Je pense que j'aurais fait comme ça

omg la faute que j'ai faite

J'ai divisé par 0, donc méthode à oublier

Euh merci mais pour moi tu as bon. Tu n'as pas divisé par 0 mais par q². Ou alors je suis complétment à la ramasse mais il me semble que tu as juste. Moi j'avais dévellopé mais je n'avais pas pensé à reprendre u=p/q et transformé l'expression avec le produit en croix. Je pensais que ça ne me donnerait rien mais apparrement ça fonctionne.

q²(u²+au+b) = 0 = u²+au+b
Donc q² = (u²+au+b)/(u²+au+b) = 1

C'est de là dont je parle

ok je vois ce que tu as fait tu as divisé par u²+au+b mais comme juste au dessus tu montres que c'est égale à 0 alors effectivement tu divises par 0 lol. Bon bah merci quand meme.

Soit le polynôme x²+ ax +b a,b entiers
Supposons que ses solutions soient rationnelles

Notons racine n par V(n)
on a que le discriminant du polynôme est:
V(a²-4b)
de plus a²-4b est entier donc V(a²-4b) est soit entier soit irrationnel
Mais comme les racines du polynôme sont rationnelle alors V(a²-4b) ne peut qu'être entier

On a que les racines du polynôme sont:
[-a+V(a²-4b)]/2 et [-a-V(a²-4b)]/2

Montrons que [-a+V(a²-4b)]/2 est entier (de la même manière on peut montrer que [-a+V(a²-4b)]/2 est entier)
il suffit de montrer que -a+V(a²-4b) est pair

on a 2 cas:

• si a est pair:

alors a² est pair donc a²-4b est pair (somme de nombres pair est pair)
donc V(a²-4b)est pair (racine d'un nombre pair est pair)
Ce qui montre que -a+V(a²-4b) est pair

• si a est pair:

alors a² est impair donc a²-4b est impair (somme d'un pair et d'un impair est impair)
donc V(a²-4b)est pair (racine d'un nombre impair est impair)
Ce qui montre que -a+V(a²-4b) est pair (somme de 2 impair est pair)

On a donc que -a+V(a²-4b) est toujours pair
et donc que [-a+V(a²-4b)]/2 est entier

Pour le cas d'un polynôme général, l'énoncé est faux:
prendre 2x+1

J'ai pas bien compris. Depuis quand le discriminant d'un trinome est égale à v(b²-4ac).

De plus " a²-4b est entier donc V(a²-4b) est soit entier soit irrationnel"
cela est à montrer dans la question d'après donc ce n'est pas comme ça qu'il faut faire.

"Mais comme les racines du polynôme sont rationnelle alors V(a²-4b) ne peut qu'être entier"
Je ne vois pas pourquoi.

"On a que les racines du polynôme sont:
[-a+V(a²-4b)]/2 et [-a-V(a²-4b)]/2 "
Tu as oublié le cas ou le discriminant est égale à 0.

Bref soit je suis à la ramasse sois ta démonstration est fausse.

Dans tout les cas je vais continuer à réflechir à partir du bouquin. M'enfin merci quand meme.

Dsl sa démo est parfaite, c'est toi qui est à la ramasse

Si c'est bon j'ai compris. C'est juste que le coup de discriminant =v(a²-4b) ça m'a embroullié. C'est la racine du discriminant qui est égale à ça. Pour le reste j'ai compris sauf qu'il manque la racine quand delta=0.

Enfin de toute façon je préfére m'en tenir à la méthode de mon livre. Meme si j'arrive pas ça sera plus constructif que de copier betement ce résultat que je n'aurait jamais trouvé tout seul.

Bon topic clos. Merci à tout le monde de m'avoir aidé.

en effet, il s'agissant de la racine du discriminant et non du discriminant lui-même (honte sur moi...)

Sinon pour le cas du discriminant nul, il est caché dans le cas a pair
(le discriminant ne peut-être nul que si a pair)

Pas grave. De toute façon j'ai réussie avec une autre méthode. Bref plus besoin d'aide.