Bonjour à tous, hier j ai attaqué le chapitre sur les fonctions exponentielles mais je n'arrive pas à démontrer (que pour une fonction f non nulle et dérivable sur R telle que, pour tous x et y de R f(x+y)=f(x)*f(y) ) que pour tout x de R f(x)=exp(kx), k€ R

Pourriez vous me donner des pistes svp ?

Merci d avance

- tu montres que c'est vrai pour tout entier naturels

- tu montres que c'est vrai pour tout entier relatifs

- tu montres que c'est vrai pour tout rationnels

- tu montres que c'est vrai pour tout réels

Mais comment commencer stp ?

Par exemple pour la première partie :

f est non nulle, donc il existe x dans R tel que f(x) <> 0,
or f(x) = f(0 + x) = f(0) * f(x) donc f(0) = 1

De même pour tout y, on suppose que f(y) = 0,
alors f(x) = f((x - y) + y) = f(x - y) * f(y) = 0 absurde
donc f(y) <> 0

donc f ne s'annule pas, or f continue (car dérivable)
donc f ne change pas de signe, or f(0) = 1
donc f(1) > 0

On pose k = ln(f(1)), donc f(1) = exp(k)
On montre par récurrence que
pour tout n dans N on a f(n) = exp(k * n)

Merci pour ta réponse, mais je dois avouer que je ne comprends pas très bien... Merci quand meme et dsl...

le plus dur reste le passage des rationnels aux réels, si tu ne connais pas l'astuce : Q est dense dans R