Bonjour,

On m'a parlé d'une certaine démonstration de "1+1=2", qui, parait-il, est horriblement longue et difficile car partant d'axiomes à apparence très tordue et très peu connus des "profanes" .

J'aimerais donc savoir si quelqu'un sur ce forum a déjà entendu parlé de ça .
Si oui, cette personne pourrait-elle m'indiquer où est-ce que je pourrais trouver cette démonstration ? (ouvrage par exemple, ou encore mieux : page internet) .

Google ne m'a pas vraiment aidé dans mes recherches ...

Je doute de l'existence de cette démonstration puisque c'est justement un axiome 1+1=2. Regarde plutôt du coté du théorême d'incomplétude de Godel qui démontre que certaines propositions sont indécidable ou indémontrable (c'est notamment le cas des axiomes arithmétiques)

On peut voir une sorte de démonstration de ce résultat si on remonte à la définition axiomatique des entiers naturels faite par Peano.
À partir de ces axiomes, l'addition d'entiers naturels est alors définie de la sorte :
0 + n = n
Si n différent de 0 : n + m = 'n + m'
Où 'n désigne l'antécédent de n et m' le successeur de m.
Alors, 1 + 1 = 0 + 2 = 2.

Ainsi une fois l'ensemble des entiers naturel construit et l'addition définie, ça se démontre trivialement.
La construction de N est, quant à elle, plus ardue (sans être horriblement longue et difficile). C'est peut-être par rapport à celà que certains t'ont parlé d'une démonstration longue et difficile.

Si tu veux un papier accessible sur l'axiomatisation de N en voici un :

http://people.math.jussieu.fr/~alp/recursion.pdf

"Je doute de l'existence de cette démonstration puisque c'est justement un axiome 1+1=2. Regarde plutôt du coté du théorême d'incomplétude de Godel qui démontre que certaines propositions sont indécidable ou indémontrable (c'est notamment le cas des axiomes arithmétiques) "

Le théorème de Godel s'applique pour des théories qui contiennent entre autre l'arithmétique de Péano. C'est donc des théories dans lesquelles on peut prouver 1+1=2.

Le théorème de Godel fournit un moyen pour construire une formule (tordue) indécidable (F est indécidable ssi on ne peut démontrer ni F ni non(F)).

Cependant, pour des théories utiles on connait des énoncés indécidable pas trop compliqués à formuler, par exemple :
-l'axiome du choix dans ZF
-le théorème de Goodstein dans l'arithmétique de Peano.

Merci à vous trois pour vos réponses .

Et merci à Axiles pour le lien .

désoler pour le mes j ai trouver ça http://www.dailymotion.com/video/x4sodt_9-bernard-werber-prouve-que-1-1-3_tech