Bonjour je bloque dans un exercice de lieu avec les complexes. Je vous résume brièvement l'énoncé :

Soit un point M d'affixe z et un point M'(z') tel que z'=f(z)
f(z)= (2-i)z+1-i / z-1

Soient x et y deux réels tels que z = x + iy et X et Y deux réels tels que z' = X + iY

Après quelques questions il est demandé de conjecturer le lieu des points M' lorsque M décrit l'axe des réels

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Donc j'ai déjà réussi à trouver l'expression de X et de Y et pour que ce soit sur l'axe des réels y doit être égal à 0

J'ai donc ôté les y de l'expression de X et ensuite pour trouver l'équation j'ai cru qu'il fallait que je remplace x par X dans l'expression de Y mais ça me semble pas juste

Vous pourriez me guider svp

Svp j'ai juste besoin d'une petit indication, merci
il y a quelque chose de pas clair ?

Ça donne quoi pour X et Y quand y = 0 ?

quand je remplace les z par x + iy dans f(z) je trouve
X= 2x²-x+2y²-2y-1 / x²-2x+y²+1

Y= -x²-3y-y²+1 / x²-2x+1+y²

Voila voila
pour y=0 tu peux observer par toi même
T'as une idée ?

Tu peux réécrire f(z) en mettant bien des parenthèses pour voir ce qui est au numérateur et ce qui est au dénominateur que je vérifie le calcul ? Parce que c'est vrai que là je ne vois pas trop à quoi ressemble l'ensemble des lieux de M'.

( 2 - i ) z + 1 - i
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z - 1

la prof nous donné une indication, quand M est un réel, y=0 et ça doit on doit trouver une droite d'équation -2x/3 + 1/3
et quand c'est un imaginaire pure l'équation doit décrire un cercle

je crois que je viens de comprendre en fait il faut partir de l'équation qu'elle nous a donné ... moi j'avais compris qu'elle nous donnait juste ça pour vérifier
Donc je suppose qu'il faut vérifier que le point est sur la droite !

ensuite elle nous donne le cercle de centre ( 0.5 ; 0 ) et de rayon (racine de 13) / 2

Si la question est de vérifier que l'ensemble des lieux de M' est la droite dans le 1er cas et le cercle dans le 2nd cas, c'est jouable (j'ai retrouvé assez facilement l'équation de la droite). Mais en partant de rien, c'est loin d'être évident.

comment as tu retrouvé l'équation de droite ? Tu as remplacer le petit x de l'équation de droite par l'expression de X ( avec ou sans y ) et ensuite tu as vérifier que c'était égal à l'expression de Y ( avec ou sans y lol )? Je suppose que c'est quelque chose dans ce gout la non ?

Merci de ton aide en tout cas

J'ai posé Y = aX + b. J'ai ainsi pu obtenir un système de 2 équations à 2 inconnues (a et b). En le résolvant je retrouve a = -2/3 et b = 1/3.

tes valeurs de Y et de X tu les as prises avec les y ou sans ?
Je croyais pourtant que lorsqu'on avait un réel il fallait supprimer les y

et sinon si à la place de a et de b, je prends les valeurs de -2/3 et 1/3 et que j'utilise X et que mon résultat final est Y ça marche aussi ?

Sans les y vu que c'est dans le cas où z est réel.

Calculer -2/3X + 1/3 et voir qu'on retrouve bien Y devrait aussi marcher. Je ne sais pas quelle méthode ton prof attend.

ok je vais faire ça
merci de ton aide

Bon j'ai plus qu'a trouver un truc dans le genre pour le cercle !

pour le rayon d'un cercle c'est un truc dans le genre
( x - abscisse du centre )² + ( y - ordonnée du centre )² = rayon²

Non ?
... va falloir que je fouille mes vieux cours ... quand j'avais lu le sujet j'avais pas prévu que ce soit aussi difficile

C'est bien ça pour l'équation d'un cercle.

donc si j'ai bon, ça me donne ( x - 0 )² + ( y- 0.5 )² = ( racine de 13 sur 2 ) ²

donc x²+ ( y - 1/2 ) = 13 / 4

Et la je remplace x par X ( avec x = 0 ) et y par Y ( avec x = 0 ) et je dois trouver 13/4 ?

Par contre je suis pas sur d'avoir compris ton systeme dans ton message plus haut, c'est quoi tes deux équations ?

Je crois que tu as inversé l'abscisse et l'ordonnée du centre dans ton équation.

Pour mon système il correspond à l'identification des coefficients (si par exemple j'ai 2x + 1 = (a + b)x + a - 2b alors on peut écrire le système a + b = 2 ; a - 2b = 1).

ah d'accord ! Plutôt malin, je retiens ^^
Non je l'avais inversé en le tapant ici, c'est ( 0 ; 1/2 ) en fait donc mon dernier message est correct

Bon ben je crois que si je rajoute ton système mon devoir est complet

Merci beaucoup pour ton aide
je m'en veux d'avoir pédalé dans le vide pendant si longtemps et de ne pas être parti de l'équation qu'elle nous a donné =x