Bonjour !

J'ai un problème avec les matrices...

Pour un Td de maths, j'ai à démontrer la propriété suivante : "si A est inversible alors ses valeurs propres sont non nulles".

J'ai cherché partout, mais pas moyen de trouver la démonstration ou même des indices me mettant sur la voie, et comme les démonstrations ce n'est pas mon fort... Diagonalisation, puissance n ième,etc., ça passe à l'aise, mais cette petite démonstration, ça ne veut pas...

Alors si l'un de vous pouvait au moins me mettre sur la voie, ce serait vraiment sympa !

Merci !

Si A est inversible :
On suppose qu'il existe une valeur propre nulle que nous nommerons L alors det(a-lI)=det(a)=0 or A inversible donc det(a) est non nul on a donc que si A inversible ses valeurs propres sont non nulles.

Dans l'autre sens si toutes les valeurs propres sont nun nulles :
Alors A est équivalent à une matrice D diagonale n'ayant aucun terme diagonaux nulle donc inversible d'ou le résultat.

hum juste une petite correction pour la deuxième partie D pourrait aussi être diagonale supérieur quoi qu'il en soit on aurait det(A)=Produit des termes diagonaux or ce produit est non nul donc A inversible.

C'est exactement ce qu'il me fallait ! C'est assez simple finalement, il suffisait d'y penser...

Je te remercie beaucoup, c'est vraiment cool de ta part !