On considère la fonction/définie sur R par :
f(x)=(V(1+x²)-1)/x pour tout réel x non nul et f(0) = 0.
x
l)Etudier la parité de la fonction f. Qu'en déduire pour la courbe Cf ?
2)Déterminer la limite de f en +oo; en déduire (sans calcul) celle de f en -oo. Quelles conséquences peut-on en tirer pour la courbe Cf ?
3)a)Démontrer que la fonction f est continue en zéro.
b)La fonction/est-elle dérivable en zéro ? Justifier avec soin votre réponse.
4)Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [0;+oo[.
5)Tracer la courbe Cf, ses asymptotes et sa tangente en l'origine dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 2 cm.
6)Démontrer que l'équation (E) : 5V(1+x²)=4x+5 possède dans R* une solution unique (que l'on appellera ) et dont on donnera un encadrement d'amplitude 10^-3.

Voila ou j'en suis venu pour l'instant :
1) Pour étudier la partié, j'ai calculé -f(x) et f(-x), il me semble que j'dois également prouvé que l'ensemble est centré en zéro (R l'est donc ça colle), et donc la fonction est impaire, pas de problème pour ça.

2) Pour la limite je n'arrive pas a trouver de méthode pour calculer la limite en +l'infini, et ma calculatrice semble afficher 1, donc je ne vois vraiment pas =/.
Sinon pour la seconde partie, vu que la fonction est impaire, la limite en plus l'infini c'est donc -1, et pour les conséquences... je saisi pas vraiment la question, mais je pense que ça veut dire que la fonction admet une asymptote horizontale y=-1 en -, et une asymptote horizontale y=1 en +

3) a) En essayant je tombe que sur des formess indéterminées, j'obtient 0/0 donc je suppose que j'ai le même problème de raisonnement que pour la question 2)
b) Pour prouver la dérivabilité j'essaye avec la limite quand x tend vers 0 de (f(x)-f(0))/(x-0) et je tombe sur V(1+x²)-1)/x², donc encore une fois une forme indéterminée... moarf =/ cependant en vu de la question 5, elle est visiblement dérivable en 0 et vaudrait 0.

4) Bon, j'ai calculé la dérivé et j'ai eu f'(x)=((1+x²)-1)/(1+x²)) (je pense que c'est juste^^') et pour le tableau je pense que ça fait
x......|0...................+oo
f'(x)..|..........+............
f(x)...|0..croissante..1

Puisque sur [0;+oo[ f'(x) est positive.

5) Pas de problème visible, les asymptotes -1 et 1 (que je n'arrive pas a trouver d'ailleurs'^^) et la tangente en l'origine 0 (que je n'arrive pas a trouver non plus'^^).

6) Hmm, le problème que j'ai là c'est l'équation, je me doute qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, mais je vois vraiment pas comment.

Merci pour votre aide.

Je crois avoir trouver pour la limite en +oo,
j'ai factoriser par x² dans la racine ce qui donne
f(x)=(V(x²(1/x²+1))-1)/x
=(xV(1/x²+1)-1)/x
=x(V(1/x²+1)-1/x)/x
=V(1/x²+1)-1/x
et comme V(1/x²+1) tend vers 1 en plus l'infini et -1/x tend vers 0, la limite est égale a un.
Si il y a une erreur merci de me rediriger,
Sinon je suis toujours perdu pour montrer que la fonction est ou n'est pas dérivable en 0, je ne trouve que des formes indéterminées =/

Quand t'as une limite qui tend vers l'infini qui te donne le cas infini sur infini tu dois calculer la limite en l'infini de la fonction en prenant les termes de la plus hautes puissance.

V(x²) = valeur absolue de x. cad que x est positif qd x>=0 et x est négatif qd x<0.

Donc tu obtient lim(x->+oo ) x/x = 1 et lim(x->-oo) -x/x = -1.