Salut, je n'arrive à rien faire dans cet énoncé :

U0 = a
Un+1 = (Un + Vn)/2

V0 = b
Vn+1 = racine(Un*Vn)

a > b > 0
1. Démontrez que Un > 0 et Vn > 0
2. Démontrez que Un > Vn
3. Démontrez que Un est croissante et Vn est décroissante

1) Récurrence

Initial : Uo > 0, Vo > 0

Hérédité :
-(Un+Vn)/2 => si Un et Vn > 0, Un+Vn > 0 donc (Un+Vn)/2 > 0
-si Un et Vn > 0, racine(Un*Vn) > 0

Donc pour tout n, Un et Vn > 0

2) Compare les carrés puisque Un et Vn positifs

3) U(n+1)-Un, Vn+1-Vn...

je vais voir ce que je peux faire avec tes aides, merci !

1) évident par réccurence
2)u(n+1)-v(n+1)=(sqrt(un)-sqrt(vn))^2>=0 (car vn, un positifs) et ce pour tout n>=0, de plus u0>v0 par définition de a,b
3) u(n+1)-un=(un-vn)/2>0 car un>vn
v(n+1)/vn=sqrt(un/vn)>1 car un>vn>0

pour la première question je comprend pas, ou est ce qu'on parle du rang n+1 ?

dans l'hérédité et comme tu sais que

Un+1 = (Un + Vn)/2
Vn+1 = racine(Un*Vn)

ça va tout seul

je comprend rien

on suppose Pn : (Un + Vn)/2 > 0 vrai
et après je dois arriver à Pn+1

donc quand je remplace Un et Vn par Un+1 et Vn+1
jarrive a un truc comme ca :

[ Un + Vn + 2racine(UnVn) ] / 4

non tu supposes (Pn) : Un > 0 et Vn > 0 vraie

je viens de caller en fait merci

suite de l'exercice :
on pose Wn = Un - Vn

1. démontrez que Wn+1 <= Wn/2
2. en déduire que Wn converge vers 0
3. En déduire que Un et Vn convergent vers la meme limite
4. avec a=2 et b=5, calculez une valeur approché à 10^-3 près de cette limite