J'ai une petite question à poser à propos d'un DM de maths...

"Soit (Un) une suite dont tous les termes sont positifs, et soit (Vn) la suite définie par Vn = Un / 1+Un.

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse, et en donner une démonstration ou un contre-exemple:

Pour tout entier n, on a 0 <= Vn <= 1"

Selon l'énoncé, (Un) est une suite dont tous les termes sont positifs, donc Un > 0.

On a Vn = Un / 1+Un, et Un > 0, donc Vn > 0.

Or Un / 1+Un < 1+Un / 1+Un, et Vn = Un / 1+Un
Donc Vn < 1.

Donc 0 < Vn < 1.

L'affirmation est donc fausse vu qu'on devait trouver 0 <= Vn <= 1.

Sachant que la prof nous a en gros laisser sous-entendre que l'affirmation était vraie, que dois-je en déduire? Que j'ai fait une erreur quelque part, ou que l'énoncé n'est pas très rigoureux? Et si c'est le second cas, à votre avis, je mets vrai ou faux?

A confirmer mais je crois que "positif" tout court ça comprend 0, c'est strictement positif qui comprend pas 0.

Ah non, j'viens de voir qu'un nombre positif était un nombre supérieur ou égal à 0, donc Vn => 0. Enfin toujours est-il qu'on a 0 <= Vn < 1 et non pas 0 <= Vn <= 1, non?

Ah ben, t'as répondu avant moi.

C'est bon, j'ai demandé à ma prof et elle m'a expliqué. La proposition est bien vraie, c'est bien 0 <= Vn <= 1. Mais j'ai trouvé l'explication assez subtile (si Vn < 1, Vn <= 1).

Bien sûr que si Vn < 1 alors Vn <= 1 :
l'ensemble des nombres < 1 est ]-00;1[, et l'ensemble des nombres <= 1 est ]-00;1]. On voit bien que ]-00;1[ est inclus dans ]-00;1].

Ah oui, j'avais pas pensé à voir ça avec les ensembles de nombres. En fait, je croyais que < et <= étaient deux signes radicalement opposés. Mais avec les ensembles de nombres on s'en rend mieux compte...

Au passage, autre question sur la spé, pour éviter de créer encore un topic:

J'ai deux nombres a=2n-1 et b=n+3.

J'ai démontré que, dans N, les seuls diviseurs communs possibles à a et b sont 1 et 5 (1ere question de l'exo).
J'ai démontré que a et b sont divisibles par 5 si et seulement si n-2 est divisible par 5 (2eme question).

Maintenant, je dois en déduire toutes les valeurs de n pour lesquelles 1 n'est pas le seul diviseur positif commun à a et b. La prof m'a dit que ça découlait immédiatement des deux premières questions, et que j'avais fait le plus dur, mais je vois vraiment pas...

a et b sont divisibles par 5
<=> n - 2 est divisible par 5 (d'après la 2ème question)
<=> n - 2 = 5k (avec k un entier naturel quelconque)
<=> n = 5k + 2 (avec k un entier naturel quelconque)
<=> a = ... et b = ...
(Je te laisse quand même faire la fin )

En fait, ton raisonnement tient du fait que (par rapport à la question):

-Dans la question 1, on a vu que les seuls diviseurs communs possibles à a et b sont 1 et 5
-On cherche les valeurs de n pour lesquelles 1 n'est pas le seul diviseur commun à a et b: l'autre diviseur est donc 5?
-On a vu que a et b sont divisibles par 5 si n-2 est divisible par 5: on va donc utiliser le fait que n-2 est divisible par 5 (tout comme a et b) pour trouver les valeurs de n pour lesquelles 5 est un diviseur positif commun à a et b.

J'ai bien compris?

C'est tout à fait ça. Il faut toujours essayer de comprendre la logique de l'ordre des questions dans ce genre d'exercices : il faut souvent réutiliser les résultats précédent, reste à savoir comment.

En fait je me rends compte que je t'ai fait toute la dernière question, je croyais qu'on demandait toutes les valeurs de a et b divisibles toutes 2 par autre chose que 5, alors qu'on veut seulement les valeurs de n.

(Et donc a=10k+5 et b=5k+5 ?)

Ok, merci beaucoup. J'ai toujours assez de mal à réutiliser les résultats précédents, et j'avoue que j'avais pas très bien compris l'exo en plus... C'est plus clair là.