à tous!

Voilà mon prof nous a donné un petit problème à résoudre qui me pose quelques soucis, et j'aurais voulu savoir si vous pouviez me donner la démarche.

Donc le calcul qu'il nous demande de faire c'est de calculer la somme des entiers naturels de 1 à +inf. Et j'avoue que je bloque.

Autrement, j'en profite pour poser une deuxième question, comment calcule-t-on l'intégrale de 0 à +inf de e^(-x²/2) ?

La série u(n) = n ne converge évidemment pas.
Concernant la fonction e^(-x²/2), c'est une fonction gaussienne au facteur près. Voir l'article de wikipedia
"http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gaussienne"
. Une gaussienne est normée, ce qui signifie que son intégrale sur R vaut 1. Tu peux en déduire la valeur de l'intégrale que tu cherches. Mais ça ne constituera pas une démonstration.

Pour la gaussienne, on peut utiliser les coordoonnés polaires

Pour la somme de k=1 à n de k, calcule les premiers termes, conjecture une formule, et démontre-la par récurrence (c'est un classique, en plus).

non non la somme de 1 à n c'est pas la question ca, et c'est très simple, un classique comme tu dis. Mais mon prof non a bien donné à faire la somme de 1 à +inf. Une blague de sa part car on ne peut pas la modéliser?

Soit il s'agit d'une blague, soit il s'est gouré.
En effet, la somme de 1 à +inf de n est égale à la limite lorsque k tend vers plus l'infini de somme de 1 à k de n.
Le résultat est donc la limite quand n tend vers +inf de n(n+1)/2 soit +inf.
Sinon pour ton intégrale, c'est l'intégrale d'Euler, il y a plein de méthode pour la calculer, en s'aidant des intégrales de Wallis, à l'aide de la transformée de Fourier, à l'aide des équas diffs et enfin la méthode la plus « simple » en utilisant le théorème de Fubini et en passant en coordonnées polaires.
Tu devrais trouver plein de liens sur Google;

Coquille : *limite lorsque n tend vers plus l'infini de somme de 1 à n de k.