Salut tout le monde,

Voila j'ai un problème de maths et j'aimerais juste que l'on me donne une piste pour démarrer car la je bloque complétement.

n est un entier naturel.

Montrez que [(n^3)-n] est divisible par 3 pour tout n.
Comme ce n'est pas très clair je préfére dire que (n^3) veut dire n puissance 3.

Voila merci d'avance de vos réponses.

Salut.
Essaie de voir comment tu pourrais factoriser n^3-n.

tu as vu la récurrence ou pas?

Bah justement j'ai essayé plein de maniere de factoriser. Euh la récurence du genre les suites arithmétique et géométrique ?

n^3-n = n(n^2-1) = ...

indice : 1²=1 :o)

En allant plus loin, n^3-n=n * (n-1) * (n+1)

Des lors, si n indivisible par trois, n-1 ou n+1 l'est.

"Des lors, si n indivisible par trois, n-1 ou n+1 l'est."

9 est divisible par 3 mais 9+1 et 9-1 ne sont pas divisible par 3. Et puis dans l'énoncé on ne dit pas que n est divisible par 3 de toute façon.

Enfin cette factorisatio je l'avais déjà faite mais je ne vois pas en quoi ça m'aide.

Merci quand même

Sauf que t'as mal lu ce qu'il vient d'écrire, il a écrit : si n est INDIVISIBLE par 3 ...
Si n est divisible par 3 ça marche aussi vu que t'as forcément n, n-1 ou n+1 de divisible par 3.

Va falloir apprendre tes cours jeune homme, et accessoirement lire les messages qu'on poste !

Alors je reprends mon message, ca sera ptet plus clair:
Soit a = n^3-n
a = n(n²-1) =n*(n-1)*(n+1) (identite remarquable).

Or, si un nombre n est divisible par 3, cela veut dire qu'il existe k appartenant a Z tel que:
n=3*k

De plus, tout nombre s'exprime sous la forme 3k , 3k+1, ou 3k+2 (3k+3 revient a 3(k+1)=3j avec j=k+1... c'est la meme forme que 3k )

Donc, tout nombre est de la forme 3k,3k+1, ou 3k+2.
Ce dont tu te rends compte c'est que dans n*(n-1)*(n+1), tu as un nombre, ce nombre +1 et ce nombre +2. Des lors, ou n, ou n+1, ou n-1 est divisible par 3.

Remplace le par 3k dans l'expression n*(n-1)*(n+1) : Tu as 3*k*(des n, n-1 ou n+1) ce qui revient a 3*m avec m=k*(des n, n-1 ou n+1).

D'ou n^3-n=3*m ... cela reviebnt a dire que n^3-n divisible par trois

PS: dans mon post, j'avais dit si n INdivisible par trois, alors n-1 ou n+1 l'est... ce qui est vrai et que je t'ai montré

PPS: Vous trouveriez pas ca trop bien d'avoir LateX ici ?

Il y aura 3 cas, si n est un multiple de 3 ( n = 3k ) ou si n n'est pas un multiple de 3 ( n = 3k +1 ou n = 3k +2 )
Remplace n par 3k, par 3k+1, et par 3k+2 avec k € N

Dire que [(n^3)-n] est un multiple de 3 signifie qu'il existe un entier naturel q tel que [(n^3)-n] = 3q

Par exemple, pour n=3k,
(n^3)-n = 9k^3 - 3k
= 3(3k^3 - k)
avec q = (3k^3 - k)

bitman: c'est ce que j'ai dit hein ^^

Ouais mais j'ai été un petit peu plus long ^^'

Ok merci d'avoir répondu si vite et désolé d'avoir interprété faussement un de tes messages un peu trop rapidement.

Par contre j'ai toujours pas bien capté vos trucs. Enfin un peu mieux. Mais je ne vois pas comment factoriser n^3-n en remplacant n par 3p ou 3p+1 ou encore 3p+2 afin d'avoir dans tous les cas n^3-3 divisible par 3.

Enfin, si j'ai bien compris normalement dans ce calcul que l'on prenne n divisible par 3 (3p) ou n indivisible par 3 (3p+1 ; 3p+2) on doit avoir n^3-n divisible par 3. Et donc on aurait répondu à la question.