Bonjour, j'ai une question que je n'arrive pas à rédiger...

Si E dense dans R, alors tout intervalle de R contient une infinité d'élements de E.

J'essaye par l'absurde mais je vois pas ... pourtant ça me semble évident ...

T'as supposé "E dense dans R et il existe un intervalle de R contenant un nombre fini d'éléments de E"?

A partir de là ça me semble simple de montrer l'absurdité. Ceci dit je peux me tromper, d'autant plus que je n'ai pas fait MP, et que tout ça est loin.

Oui il me semble aussi que par l'absurde ça marche plutôt bien :

Supposons E dense dans R, alors quel que soit x dans R, tout voisinage de x contient un point de E.
Supposons qu'il existe un intervalle I qui contient un nombre fini d'élément de E {e_1,e_2,...,e_n} (que l'on peut supposer ordonné sans perte de généralités).
Considérons la distance d(e_k,e_l) = |e_a-e_b| et notons m = min(d(e_k,e_l)) (à savoir la distance minimal entre 2 éléments de E dans l'intervalle I).
On considère maintenant le voisinage V(e_k) (avec k dans {2,...,n-1}) constitué des réels situés à une distance inférieure à m de e_k.
V(e_k) ne contient aucun point de E, ce qui est impossible car E est dense dans R.
Donc I contient une infinité d'éléments de E.

Je viens de m'apercevoir que j'ai dit une bêtise, V(e_k) contient e_k donc un point de E. ;)
Il vaut mieux considérer V(a) constitué des réels situés à une distance strictement inférieure à m/2 avec a = [e_k + e_(k+1)]/2.
Et là on est sûr qu'il n'y a pas d'éléments de E dans V(a).