J'ai un p'tit problème pour un exo sur les suites et la récurrence, car ma prof m'a dit qu'il y avait une erreur quelque part mais je vois pas où (en fait elle m'a expliqué ça ce matin mais ça m'est sorti de la tête )...

Voici l'énoncé:

"On considère la suite numérique (Un) définie sur N par:

U0 = a et pour tout entier n, Un+1 = Un(2-Un)
où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.

Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < Un < 1."

Donc je vous passe l'initialisation, je passe directement à l'hérédité:

On suppose que la propriété est vraie au rang k avec k => 0, c'est à dire 0 < Uk < 1.
On démontre qu'elle est vraie au rang k+1, c'est à dire 0 < Uk+1 < 1.

0 < Uk < 1
0(2-Uk) < Uk(2-Uk) < 1(2-Uk)
0 < Uk+1 < 2-Uk

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 0 < Uk < 1, donc 2-Uk > 1.
Donc on a:
0 < Uk+1 < 1 < 2-Uk.

Donc la propriété est vraie au rang k+1.

Mais c'est faux. Mais le problème, c'est donc que je ne vois pas où...

0 < Uk+1 < 2-Uk

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 0 < Uk < 1, donc 2-Uk > 1.
Donc on a:
0 < Uk+1 < 1 < 2-Uk.

C'est cette partie-là qui est fausse : on a 0 < Uk+1 < 2-Uk < 1.

Ouais nan laisse tomber chui trop crevé j'écris que de la merde. -_-
En tout cas tu peux pas affirmer la dernière ligne avec ça.

Faut étudier la fonction f(x)= x(2-x)