Bonsoir tout le monde
En fait j'ai un exercice sur les bijections qui peut paraître assez simple mais dont je ne vois pas trop le comment de la résolution

Soient f et g deux applications d'un ensemble E vers lui-même.
- Montrer que si g o f = Id E alors f est injective et g est surjective.
- Donner un exemple avec f et g non bijectives.
- La réciproque est-elle vraie ? (si oui, donner une preuve; sinon un contre-exemple.

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa !

Salut.

gof=id donc gof est une bijection de E dans E. Donc gof est à la fois injective et surjective.
Supposons f non injective et soit (x,y) dans ExE, tels que :
x différent de y et f(x) = f(y) = z
On a alors, x != y et (gof)(x) = g(z) = (gof)(y)
Ce qui est absurde car gof est injective.
Donc f est injective.

gof surjective donc, soit y dans E, il existe x dans E tel que :
(gof)(x) = y soit g(f(x)) = y
Donc y a un antécédant par g (qui est f(x)), donc g est surjective.

Je te laisse t'amuser à construire un exemple de fonctions non bijectives qui vérifie ça et chercher le dernier point qui n'est pas très compliqué.

Merci beaucoup pour ta réponse !

Ca m'était pas paru évident que si gof=id alors gof est une bijection :/

Sinon != c'etait pour dire différent de c'est ca ?

De rien.
Oui, suffisait de remarquer que l'identité est bijective.

Sinon, oui, != veut bien dire différent de.

Sinon la réciproque ce serait que si une fonction f est injective et si une fonction g est surjective alors gof = id c'est ca ou pas ?
Parce que si c'est ca c'est complètement faux