Bonjour! J'ai un devoir à rendre pour la semaine prochaine qui me fait défaut, c'est sur les fonctions
Démontrer que
( x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24 ) = 0 n'admet pas de solution dans R

J'ai essayé un truc du genre

Si la dérivée s'annule en h

alors

f' = (x-h)(ax²+bx+c) et si ax²+bx+c n'est pas factorisable, le signe ne dépend que de x-h et après on peut facilement démontrer que la fonction f ne passe jamais par 0...
Sauf que je ne peux pas trouver ce h, même avec une calculatrice.

Comme ça ça a plus de chances de marcher.

On remarque que f(x) = x^4 + f'(x). A mon avis ça doit aider pour la suite (je continue d'y réfléchir mais ça fait toujours une piste à voir).

il faut montrer que f s'écrit comme le produit de deux polynômes irréductibles de degré 2.

(ax²+bx+c)(a'x²+b'x+c')

Et comment on fait ça? On a 6 inconnues

J'ai ça comme équation

aa' = 1
ab' + ba' = 4
ac' + a'c + bb' = 12
bc' + b'c = 24
cc' = 24

Mais on peut rien faire avec ça non?

Cherche des solutions dans C , le corps des complexes .

Je ne pense pas qu'il faille checher dans les complexes.
Par contre tu peux poser a = 1 (et donc tu as aussi a' = 1), ce qui laisse ensuite un système de 4 équations à 4 inconnues.

nécessairement les solutions du polynome de degré 4 seront dans C.
Pour l'identification, a et a' valent 1 c'est vrai .
Le reste des inconnues se déduit assez facilement .