Bonjour tout le monde voila je viens de finir un petit exo sur les suites. Mais je n'arrive pas a résoudre une derniere question qui me demande de résoudre par récurrence que pour tout entier n plus grand ou égal à 0, n^3- n est un multiple de trois.
Si quelqu'un a une idée ? merci d'avance !

(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1

t'as déjà des 3 qui apparaissent, manque plus qu'à utiliser l'hypothese au rang n

Initialisation : facile

Hérédité :
hypothèse : n^3 - n est multiple de 3, donc n^3 - n = 3k
(n + 1)^3 - (n + 1) = n^3 + 3n² + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n² + 3n - n = n^3 - n + 3(n² + n)
D'après l'hypothèse n^3 - n = 3k, donc
(n + 1)^3 - (n + 1) = 3k + 3(n² + n) = 3(k + n² + n)
Donc (n+1)^3 - (n + 1) est aussi multiple de 3.

Conclusion : ...

Chaud le gars qui mache le travail...

C'est vrai que j'en ai un peu trop fait. Mais en même temps je ne voyais pas où il pouvait être coincé. Parce que tu as raison dans ton post, mais s'il n'avait même pas fait ça c'est vraiment qu'il n'avait pas du tout cherché.

Ah d'accord donc je commence directement de n+1 pour trouver ce que l'on me demande.
mais comment je fais si par exemple
j'ai Un + 1 = ((n+1)*Un))/3n
et que je dois montrer que Un = n/3^n ?

Je commence par n/3^n pour arriver a ((n+1)*Un))/3n ?

Bas je n'ai pas très bien compris le principe de la récurrence :S

Le principe de récurrence :
1ère partie : l'initialisation :
Tu montres que l'hypothèse que tu as à vérifié est vraie pour le 1er rang (c'est plutôt facile).

2ème partie : l'hérédité :
Tu supposes que ton hypothèse est vraie pour un rang n, et tu montres que ça implique qu'elle est vraie pour le rang n+1 (demande un peu de calculs et de "bidouille" parfois).

Une fois ces 2 parties faites tu as montré par récurrence que ton hypotèse est vraie pour tout n supérieur au rang de départ (généralement 0 ou 1).

donc en fait on montre que ça marche pour un rang 0 ou 1
puis je dois démontrer que la condition demandée est aussi vrai pour tout les autres entiers n, quelque soit leur rang ?

Tu supposes que c'est vrai pour un rang n et tu montres que c'est alors forcément vrai pour le rang n+1 (regarde ce que j'ai fait dans mon 1er post : pour l'hérédité j'ai dit que c'était vrai pour n et je m'en suis servi pour montrer que c'était vrai pour n+1).

d'accord je commence a comprendre mais dans mon deuxième exemple :
mais comment je fais si par exemple
j'ai Un + 1 = ((n+1)*Un))/3n
et que je dois montrer que Un = n/3^n ?

Je dois trouver si l'égalité est vrai au rang n-1 ?

Pareil : tu fais l'initialisation, puis l'hérédité en supposant que c'est vrai pour Un pour montrer que c'est vrai pour Un+1.
En fait je crois que je comprends un peu ce qui te perds, c'est le fait qu'on utilise n dans la consigne pour ce que tu dois montrer et qu'on l'utilise aussi dans l'hérédité.
En fait dans la consigne on te demande de montrer POUR TOUT n, donc U0, U1,... Dans l'hérédité c'est juste pour noter un rang au hasard pour lequel on suppose que le résultat est vrai et qu'alors le résultat est forcément vrai pour le rang suivant, on peut très bien utiliser la lettre k à la place de n par exemple.

Donc j'obtient :
(n+1)*(n/3^n)/3 n = (n+1) n^2/(3*3^n)
= (n+1)n^2/3^(n+1)

Si je veux retomber sur Un faudrait qu'il n'y est pas de (n+1) au numérateur non ?

n^3-n = n(n-1)(n+1)

Or n(n-1)(n+1) est un produit de 3 termes consécutifs, donc nécessairement l'un des 3 est divisible par 3

Ex : si n multiple de 3, Un divisible par 3
si n = 3k + 1, n-1 = 3k qui est divisible par 3
si n = 3k + 2, n+1 = 3(k+1) qui est divisible par 3