Bonjour, j'ai quelques problèmes sur un exo (dur la reprise...).

Voici l'énoncé:
Pour tout complexe z =/=1, on pose: (z barre c'est le conjugué)

Z= (2+z barre)/(1+z barre)

Avec z= x+iy et Z= X + iY (x, y, X, Y réels)

1. Calculez X et Y en fonction de x et y.

Là j'ai trouvé:
X= (2-x-x²-y²)/(1-x²-y²)
Y=y/(1-x²-y²)

(si quelqu'un pouvait vérifier au cas où, ce serait sympa, merci)

Et surtout:
2. Le complexe z est l'affixe d'un point m du plan complexe. Démontrez cette affirmation:
"Dire que Z est imaginaire pur équivaut à dire que m est un point d'un cercle privé d'un point".

Je ne comprends absolument pas ce qu'il faut faire pour répondre à cette question (je ne veux pas que vous répondiez à ma place, j'aimerais juste que quelqu'un qui a déjà eu une question similaire me donne quelques indices).

Voilà, merci d'avance

Z imaginaire pur <=> Re(Z) = 0, ce qui devrait te donner l'équation d'un cercle.

En reprennant le problème, j'ai vu une erreur de calcul:
j'ai maintenant:
X = (2-x-x²+y²)/(1-x²+y²)
Y = (-y (1+2x))/(1-x²-y²)

Cependant, j'ai beau reprendre les calculs dans tous les sens, je n'arrive pas à trouver cette équation de cercle:

-x² - x + y² + 2 = 0
ça ne me mène à aucune équation de cercle (il faudrait des y).
Quelqu'un a une idée?

Pas forcément besoin de y, si le centre du cercle est sur l'axe des abscisses il n'y en a pas.

Et, c'est peut-être bête mais bon, pour le - x², je fais comment? Dans tous les exercices avec des équations de cercles que j'ai eu jusqu'ici (juste quelques-uns en fin de 1ère en gros), j'ai toujours soit +x² +y² soit -x² -y² (donc x² et y² de même signe). Je n'arrive donc pas à me ramener à la forme qu'il faut.

(merci pour cette aide tout de même)

Là j'ai

(x+1/2)² - y² = 9/4
ce n'est pas une équation de cercle si je ne m'abuse.

Juste pour que je vérifie le calcul : c'est 1+ z barre ou 1 - z barre au dénominateur ? Parce que ça ne concorde pas avec z =/= 1.

Je me suis trompé en recopiant l'énonce, c'est z =/= -1.

Après vérification tes X et Y sont faux.

Est-ce que c'est ça?

X = (x²+y²+3x+2)/(1+2x+x²+y²)

Et

Y = y/(1+2x+x²+y²)

Là on trouve une vrai équation de cercle semble-t-il.

Il vaut mieux que tu ne me donnes pas la réponse finalement. Je vais mettre cette réponse qui me semble juste.

Merci pour ces calculs.