Bonjour j'ai 2 petits exercices que je viens de faire mais j'ai des doutes et si possible je vous demande si vous pouvez m'aider à rectifier mes erreurs svp merci ^^.
Alors le 1er:
Démontrer par recurrence que pour tout entier naturel n,
5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)
J'ai fais ceci:
Soit P(n) la propriété de tout n de N: "5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)", j'utilise le raisonnement par recurrence
1) initialisation
Est ce que P(0) vraie?
P(0): 5^2 = 25 et 4^2 + 3^2 = 25 donc on a une égalité mais je n'ai pas d'inégalité, faut -il que je fasse avec P(1) qui me donnerai alors 5^3 = 125 et 4^3+3^3 = 91 là on a bien une inégalité (est ce que c'est neccessaire pour P(1)?
Don je dis que P(0) vraie
2) hérédité:
Pour tout n fixé de N, je suppose P(n) vraie c'est a dire que 5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2) est vraie
Hypothèse de recurrence:
Est ce que P(n+1) vraie?
Comparons P(n+1):
5^((n+1)+2) >= 4((n+1)+2)+3((n+1)+2)
5^(n+3) >= 4(n+3)+3(n+3)
5^(n+3) >= 4x4(n+2)+3x3(n+2)
Mais 5^(n+3) est égal a 5^(n+2) x 5 donc on aurait
5^(n+2) x 5>= 5x (4^(n+2)+3^(n+2))
5^(n+2) x 5>= 5x 4^(n+2)+ 5x 3^(n+2) >= 4x4(n+2)+3x3(n+2)
Donc on a bien 5^((n+1)+2) >= 4((n+1)+2)+3((n+1)+2)
Donc par P(n) vraie j'ai P(n+1) vraie.
P(n) est vraie pour tout n de N
Donc 5^(n+2) >= 4^(n+2)+3^(n+2)
Voilà pour le 1er mais je suis pas trop sur.
Ensuite le 2e ^^:
U est la suite définie par U(0)=0 et par tout entier naturel n ,
U(n+1) = (racine carrée de(Un +1))
Démontrer par récurrence que tout n de N:
0=< U(n) =< (1+V5) / 2
V = racine carrée
.
Soit P la proprité défini pour tout n de N c'est a dire
0=< U(n) =< (1+V5) / 2
alors j'ai fait avec le méme plan que le 1er exercice donc pour raccourcir j'ai P(0):
U(0) = 0 et comme la fonction racine carrée est croissante de [0; + OO[ alors la suite U(n) est croissante sur ce même intervalle.
U(0) vraie donc 0=< U(n)
Après je suppose P(n) blabla bla
0=< U(n) =< (1+V5) / 2
j'ai donc: 0=< V(U(n-1)+1) =< (1+V5) / 2
Hypothese de recurrence
J'ai obtenu pour U(n) = V(U(n-1)+1) car U(n+1) = V(U(n)+1)
donc U(n+1)= V((V(U(n-1)+1)) + 1)
Donc avec P(n+1) j'ai donc
0=< V((V(U(n-1)+1)) + 1) =< V(((1+V5) / 2)+1)
0=< V((V(U(n-1)+1)) + 1) =< V((3+V5) / 2)
Comme V((3+V5) / 2) =< (1+V5) / 2
Alors 0=< U(n+1) =< (1+V5) / 2
Par P(n) vraie j'ai P(n+1) vraie
Donc voilà merci de votre aide
