Voilà je viens de rentrer en MPSI, et j'ai des exercices épouvantables :

On considère une famille finie d'ensembles distincts deux à deux
Montrer que l'un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.

Montrer que l'ensemble D = {(x,y)E R^2, x^2+y^2 </=1} ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de R.

Perso j'utiliserais un contre-exemple :
(0;1) et (1;0) appartiennent à D. Si D était le produit cartésien de 2 parties de IR, alors on aurait aussi (1;1) qui appartiendrait à D. Ce qui est faux.

Correction : c'est plutôt un raisonnement par l'absurde que j'ai fait.

"alors on aurait aussi (1;1) qui appartiendrait à D"

Je n'ai pas compris le passage, tu peux m'expliquer STP ?

Supposons que X = {x1 ; x2 ;...; xn} et Y = {y1 ; y2 ;...; ym} soient 2 parties de IR telles que D = X x Y, alors ça veut dire que toutes les combinaisons de (xi; yj) appartiendraient à D.
(0;1) et (1;0)appartiennent à D, donc 0 et 1 appartiennent à X et Y. Dans ce cas on a donc aussi (0;0) et (1;1) qui appartiennent à D. C'est vrai pour (0;0) mais pas pour (1;1) (car 1² + 1² = 2 > 1).
Donc on a montré par l'absurde que D ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de 2 parties de IR.

Pour le premier exercice, tu peux aussi le résoudre en raisonnant par l'absurde.
On considère une famille (A_i) d'ensemble avec i dans {1,...,n} avec les A_i distincts 2 à 2.
On suppose que pour tout i, il existe j dans {1,...,n}\{i} tel que A_j est inclus dans A_i. En considérant la relation d'inclusion comme relation d'ordre, chacun de tes A_i est en relation avec un A_j et tu ordonne ainsi tous tes A_i au sens de l'inclusion.
La famille d'ensemble étant finie, tu as nécessairement un plus petit élément (au sens de l'inclusion, soit un ensemble inclus dans tous les autres). Notons A_m ce plus petit ensemble.
Par hypothèse, il existe k dans {1,...,n}\{m} tel que A_k est inclus dans A_m. Ce qui est absurde car A_m est censé être le plus petit élément et que par hypothèse A_k différent de A_m.

Je te laisse formaliser mieux mais l'idée est normalement là.

http://forums.futura-sciesciences.com/thread243943.html

Ah ben ça va s'il a aussi des réponses ailleurs.

Par contre j'avais complètement zappé le 1er exo (j'ai lu que la 1ère et la dernière ligne du post). Exercice que je n'aurais peut-être pas fait par l'absurde.

pour le premier exo, une récurrence me semble possible, mais j'ai pas regardé en détail.

En tout cas, la solution que j'ai postée sur futura recoupe celle de dunadan, je suis rassuré :o

Merci à vous, et aux deux forums plsu largement. (désolé du double topic, même si ce n'est pas sur les mêmes forums)