Salut j'ai un petit probleme en Maths je bloque sur une question :

Soit h : [a,b] -> R+ continue et positive
Montrer que : intégrale de a à b de ( h(t) dt) = 0 implique h = 0 sur [a,b]

Quel niveau? Et sinon c'est un théorème de sup...
Si une f° est C° et >0, alors son intégrale est forcément positive, strictement...

C'est une question d'oral des CCP
et tu crois qu'en balancant ce théorême , ca suffit?

euh... le prof risque de demander la démo, vu que c'est un théorème au programme, ça doit se faire.

J'ai pas encore fait les intégrales mais je dirais :

Integrale a à b = 0

=> Somme de tous les h(x) de a à b = 0
Or tous les termes de l'intervalle [a;b] sont positifs, donc h(x) = 0 pour tout x appartenant à [a;b]

Soit g la primitive de h (elle existe car blabla)

-h est une fonction positive, donc g est croissante (puisque g est sa primitive). Note qu'on a pas dis h STRICT positive, donc h n'est PAS STRICT croissante. Elle peut etre stationnaire.

Donc g(b) >= g(a) [1]

Intégrale de a à b de (h(t) dt) : ce n'est rien d'autre que [g(t)](a,b) = g(b) - g(a)
où g est la primitive de h.

Donc si ton intégrale est nulle :
g(b) - g(a) = 0 [2]

Donc g(b) = g(a). g ne peut pas être croissante. Elle est donc stationnaire.

Donc g est une fonction constante sur [a,b]
Donc sa dérivée, h, est nulle sur [a,b]

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Je n'ai très mal rédigé et j'ai l'impression qu'il y a un petit couack dans la démo, je relirais ca a tete reposée, là, j'ai faim :D
Mais ca peut peut etre te mettre sur la voie
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Bon courage.

je rappelle la def d'intégrale selon Riemann:

f est intégrable si:

pour tout a, il existe g,h fonctions en escalier tq:
i) g<= f <=h
ii) Intégrale( h-g)<a
si f intégrable alors:
Intégrale(f)= inf{intégrale(h) tq h en escalier et h>=f}

Et, où l'intégrale d'une fonction en escalier est définie comme la somme des valeurs*taille de l'intervalle.

intégrale de a à b de ( h(t) dt) = 0 implique h = 0 sur [a,b]

par l'absurde, supposons, h=/= 0
alors il existe x dans [a,b] tq h(x)=/=0
donc pour toute fonction g en escalier tq g>=h
on a: Intégrale(g) >h(x)
(imaginer graphiquement:fonction en escalier qu'on met au dessus de h, celle-ci aura un intervalle où elle sera plus grande que h(x) et par continuité de h la taille de l'intervalle ne peut devenir nul)

donc, intégrale(h) = inf{intégrale(g) tq g en escalier et g>=h} >h(x)
donc intégrale(h) =/=0: contradiction

C'est en quel classe qu'on apprend sa ?
merci d'avance.

En bac+1-bac+2.

Ok merci .J'ai eu un peu peur , j'ai cru que c'etait au lycée qu'on voyait sa .

Ah non, le lycée c'est encore facile.

Ca fait deux démonstrations mais la deuxième est inutilement longue puisque le seul point important se trouve dans:
"par continuité de h la taille de l'intervalle ne peut devenir nul", qui n'a rien de rigoureux mais je pense que la démonstration la plus visuelle et la plus concise se fait de cette manière (et on n'a pas besoin de passer par les fonctions en escalier!).