:bonour: à tous!
quelqu'un pourrait il m'expliquer, pourquoi i^i donnne un nombre réel, et à savoir = 0,207879576?

c'est juste une petite question de curiosité, j'ai demandé à ma prof tout à l'heure, et elle n'a pas su me répondre...

d'avance!

Parce que i^i = exp(i*ln(i)) = cos (lni) + i sin(lni)
Et e^iPi = -1 = i^2
Donc iPi = 2lni
D'ou lni = i * Pi/2

On remplce dans la premiere relation:

cos (lni) + i sin(lni) = cos (iPi/2) + i sin(iPi/2)
Et là je pense qu'il faut utiliser les expressions d'Euler ou de moivre enfin là j'ai un peu la flemme...

PS: J'ai fait ça par tâtonnement, au feeling, donc je sais pas si c'est le raisonnement suivre ou pas.

Intéressant comme question je n'y avait jamais pensé!
Je te donne l'intuition
pour le faire rigoureusement, on a besoin d'analyse complexe
notamment de la def du log complexe qui n'est pas évidente...

on a:
i^i= e^(i*log(i))

de plus, on a qu'un nombre de la forme e^(ix), n'est pas toujours complexes car:

e^(ix)= cos x + i sin x (pour le vérifier: développement de Taylor de sin, cos et e)

pour x tq sin x=0
l'exponentielle est réelle

donc j'imagine que e^(i log i) est dans ce cas (je n'ai pas fait les calculs...)

voila c'est juste l'idée, je n'ai pas été du tout rigoureux et je comprendrait qu'on ne me croit pas.

désolé pour le double Post...

Pour continuer ce que Skayah a fait:

ln i = i*pi/2
donc
i^i=e^(i ln i)=e^(i² pi/2) = e^(-pi/2)=0.207...

mais encore une fois il faut faire attention au log complexe
(la def est différente que celle dans R)

cos (iPi/2) + i sin(iPi/2)
= [e^(i*iPi/2)+ e^(-i²pi/2)]/2 + [e^(i*iPi/2)- e^(-i²pi/2)]/2i
= [ie^(-Pi/2)+ ie^(pi/2) + e^(-Pi/2)- e^(pi/2)]/2i
= -i[e^(pi/2)(i-1) + e^(-pi/2)(i+1)]/2
= [e^(pi/2)(i+1) + e^(-pi/2)(1-i)]/2
= [e^(pi/2)(i+1)² + e^(-pi/2)*1]/2(1+i)
= [e^(pi/2)2i + e^(-pi/2)]/(2+2i)
= [e^(pi/2)2i(2-2i) + (2-2i)e^(-pi/2)]/8
= [e^(pi/2)(4i+4) + (2-2i)e^(-pi/2)]/8

Bon là je sais plus

Calculs bourrins et pas forcément interessants quoi

Poste de boulet et pas forcément utile quoi

Pas la peine d'être insultant, je dit ce que je pense c'est tout.
Je trouve que trouver la valeur de i^i est très calculatoire et pas intéressant, il y a des trucs mieux que ça à faire en maths, maintenant si ça vous plaît tant mieux pour vous, mais c'est pas une raison pour m'agresser

Je ne t'ai pas agressé (virtuellement)

Voici :
i^i=e^(i*ln(i))
or,
ln( i ) =ln( e^(i*pi/2) )=i*(pi/2) (en utilisant la propriété ln(a^b)=b*ln(a))

d'où
i^i=e^(i*i*pi/2)=e^(-pi/2)

Ce qui donne le résultat de début de topic.

C'est comme ça que fonctionne ce qu'on peut appeler le logarithme complexe...

"Je trouve que trouver la valeur de i^i est très calculatoire et pas intéressant"
=>je trouve pas ce que j'ai fait calculatoire

Le logarithme défini sur les complexes ... c'est une invention du C & D ?

D'ailleurs, c'est normal que ta prof n'a pas su répondre, puisque i^i ne veut rien dire, mathématiquement parlant ...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

1. LaoStaounet Voir le profil de LaoStaounet
2. Posté le 31 mai 2008 à 02:01:05 Avertir un modérateur
3. Le logarithme défini sur les complexes ... c'est une invention du C & D ?

==>Franchement, tu croyais que personne n'avait jamais pensé à étendre le logarithme aux complexes ? Ce qui serait aberrant serait plutôt justement que personne ne s'en soit jamais donné la peine...
Surtout que si la calculette donne une valeur, c'est bien que ça a du sens, au moins pour elle, et donc pour ses constructeurs.

le logarithme complexe a en effet été défini
mais sa déf est moins simple que dans le cas réel et on a quelques soucis avec.
Notamment que celui n'est pas défini partout sur le plan complexes. Il est définit partout sauf sur une demi-droite que l'on peut choisir (je ne me souvient plus trop alors je ne pourrait pas entrer dans les détails)

Mais ma calculatrice ne me donne pas de valeur pour les log complexes!

L'article de Wikipédia précise qu'on a tenté de définir le logarithme complexe, mais qu'on a jamais réussi ... ce qui explique peut-être pourquoi une prof de lycée ne peut pas répondre à ta question.

Ceci dit, le fait que le logarithme complexe n'ait jamais été défini implique que la notation i^i ne veuille rien dire.

Après, je m'y connais surement moins que thorin_oak. Je m'excuse et je me tais.