Slt à tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide svp ...
On a un espace E muni du produit scalaire :
(f,g)=(intégrale de -Pi à Pi de f(t)g(t)dt).
Et F est le sev de E engendré par les fonctions sin et cos.

Je cherche une base orthonormée de F ...

J'ai un souci je n'arrive pas a faire schimdt.
Je pense que je cherche un lambda tel que
(sin, sin+lambda*cos)=0 , et dans ce cas là, ma famille formée de sin et de sin + lambda* cos sera ma base orthonormée ( enfin il me restera plus qu'a normalisé les 2) .
Mais j'ai un problème dans l'integrale je n'arrive pas a avoir de condition sur le lambda donc je pense que la demarche est fausse ... :s
Merci de m'aidez ...

tout d'abord remarquer que:

sin(t)* cos(t) est une fonction impaire

donc (sin, cos)= intégrale de (cos(t) sin(t) dt)=0

une base de F de la forme (a*sin, b*cos) est donc une base orthogonale

reste à normer les elements de la base:

pour cela,
on veut que (a*sin, a*sin)=1
cad int[(a*sin(t))²dt]=1

donc a²= 1/(intégrale de -pi à pi de sin t dt)
même chose avec b*cos

Merci.
Je trouve a= (PI)^(-0,5) et b=a .

Donc ma base orthonormée est ( sint/sqrtPI , cost/sqrtPI ) ?

j'ai la même chose

En fait le but c'est de trouver L'inf de (l'intégrale de -Pi à Pi de ( asint + bcost - t)^2 ) .

J'ai bien compris que cette inf est une distance, et que je devais utiliser le projeté orthogonal sur F .

Mais j'y arrive pas ...
Il faut que je determine en fonction de <cost,t> et <sint,t> les valeurs de a et b rendant l'integrale minimum ...

c'est bien cela tu dois calculer la projection orthogonale de t sur F

et on a que cette projection est la fonction donnée par:

f(t)= <cos t,t> cos t+ <sin t,t> sin t
(je te laisse les calculs des produits scalaire^^)

J'ai toujours un souci ...
Je trouve f(t)= 2pi* sint.

Et quand je calcul (l'intégrale de -Pi à Pi de ( asint + bcost - t)^2 ) = f(t) , sa me donne une équation sur a et b, mais j'en ai besoin d'une autre pour avoir a et b ...
J'ai besoin d'aide svp ... merciiiiiiiiii

Je me suis trompé, c'est f(t)=2sint.
Mais sa ne resout pas mon problème ...

si c'est toujours pour calculer l'inf, je précise et continue un peu ce que j'ai fait précédement

on a:
inf(...) = distance entre F et t notée d(F,t)

or F fermé donc il existe une unique f(t)tq
d(F,t)= ||f(t)-t||

et de plus, par le thm de projection, f(t) est la projection orthogonale de t sur F
f est donc donnée par:
f(t)= <cos t,t> cos t+ <sin t,t> sin t

après avoir calculé f(t), il te reste juste à calculer
intégrale de -pi à pi de (f(t)-t)² dt pour trouver l'infimum