Montrer que x² - 2x - 3 = (x-1) - 2²

OK mais on commence notre démonstration en partant de x² - 2x - 3 (mais ca va être chaud chaud ) ou bien en partant de (x-1) - 2² ?

La deuxieme option me semble plus logique, d'autant plus que je suis en seconde.
Mais alors dans ce cas, il y aurait écrit montrer que (x-1) - 2² = x² - 2x - 3 et non le contraire non ?

C'est la même chose. Si je te dis que 2/2 = 1, ça veut aussi dire que 1 = 2/2. Donc tu peux bien partir de (x-1)² - 2² (je pense que tu as oublié le carré en recopiant l'énoncé) sans problème. Sinon, pour passer de x² - 2x - 3 à (x-1)² - 2², tu peux faire
x² - 2x - 3 = x²-2x +1 - 4 = (x-1)² - 2²
car a²-2ab+b² = (a-b)² avec ici a = x et b = 1.

Tous les chemins mènent à Rome!

=> Tu essayes de faire ressortir ton identité remarquable:

x²-2x-3 = x²-2x-3+1-1 = (x²-2x+1) - 4 = (x-1)² - 2²

<= Tu développes:

(x-1)² - 2² = x²-2x+1-4 = x²-2x-3

Les deux méthodes sont justes...

He bien je vous remercie vraiment pour vos réponses
Mais dites-moi, quand est-ce que vous apprenez a faire ça ? (partir de l'expression développée pour la factorisée) Parce que bon .. ici avec la forme développé c'est pas si évident que ça ^^
Et aussi, vous tentez des choses au hasard en continuant pour voir si ca tiens la route ? ou vous procédez en réfléchissant (ou autre lol) ?

Ca m'est venu intuitivement je dirais, d'autant plus qu'ici c'est relativement simple, on n'a que peu d'étapes entre le début et ce qui est recherché. Ca vient avec la pratique, à force de manipuler des objets mathématiques de ce type on finit par en intégrer les mécanismes au point de voir de suite l'évidence, de marcher à l'intuition. Ca ne te semble pas trivial parce que ça ne t'est pas familier, mais tu vas voir que dans un certain temps tu ne réfléchiras même plus en terme de difficulté pour factoriser des expressions comme celle-ci. Tu "feras", juste.

Comme quand tu t'orientes dans un endroit inconnu. Au départ, tu as du mal, mais à force tu finis par connaître le chemin et donc tu peux même marcher en lisant sans te perdre pour autant. ^^

"La deuxieme option me semble plus logique, d'autant plus que je suis en seconde."

Pas forcément plus logique, mais en tout cas, bien plus facile, et donc préférable !

"Mais alors dans ce cas, il y aurait écrit montrer que (x-1) - 2² = x² - 2x - 3 et non le contraire non ?"

C'est une question intéressante. En fait, on dit que le symbole "égal" est une "relation d'équivalence" car elle possède entre autres la propriété suivante :
si a=b, alors, b=a.
Ainsi, ça veut dire que lorsque 2 choses sont égales, peu importe laquelle on met en premier.

Cependant, il t'arrivera peut être, quand tu seras plus "grand", de faire attention à l'ordre des choses par rapport au égal, sous certaines conditions.

"quand est-ce que vous apprenez a faire ça ?"
Selon la section dans laquelle tu vas l'année prochaine, tu apprendra peut être à résoudre toutes les équations du type :
ax²+bx+c=0, avec a, b, c, étant n'importe quels nombres.
Par exemple, tu apprendras à résoudre x²-2x-3=0 directement.

Pour résoudre ces équations, il existe une formule générale que tu apprendras par coeur, et il se trouve que pour démontrer cette formule, ce qu'on fait est en gros de faire ce qu'a fait skayah, mais dans le cas général (en remplaçant les 2, -3 etc, par des lettres).
Donc, c'est une technique que tu reverras, et qui peut souvent servir, de chercher des morceaux d'égalités remarquables, et faire un peu de bidouille pour obtenir quelque chose de beau.
Ca semble à première vue hyper dur à voir, mais c'est juste une question d'habitude.

"Et aussi, vous tentez des choses au hasard en continuant pour voir si ca tiens la route ? ou vous procédez en réfléchissant (ou autre lol)"

en l'occurrence, voici le raisonnement plus détaillé, montrant la réflexion :
on a ça : x²-2x-3
on sait qu'on veut arriver à un truc avec un - 2² à la fin, donc on le fait apparaitre dans notre expression :
x²-2x-3=x²-2x-3+1-1=x²-2x+1 -2²
Et ensuite, on remarque que x²-2x+1 est une jolie égalité remarquable.