Bonjour à tous,

Bon c'est pas dans mon habitude de venir chercher de l'aide en math sur des forums mais là je suis coincé....
C'est un DM de probabilité, et je suis une bille dans cette discipline.
Voilà l'énoncé:

http://img20.imageshack.us/img20/8845/dmmathminesdedouaiwa0.th.jpg

Je coince quasiment à toutes les questions, donc si quelqu'un pouvait me donner des indications afin de m'aider à démarrer, ce serait super!

Merci d'avance de votre aide!

http://img20.imageshack.us/my.php?image=dmmathminesdedouaiwa0.jpg

désolé pour le mauvais lien...

Je me lance:
1.1 T est le temps de desintegration du dernier atome
cad T = max( Xk)
1.2 je dirai loi exponentielle aussi (clair par 1.1)
1.3 si E[T] est l'esperance de T
alors E[T] < E[max Xk] qui est fini
sinon i l faut que tu me dise ce qu'est la notation E[T]
2.1 il faut juste ecrire la densite de la loi de Poisson
2.2 P(T<=t|N=n) tu connais densite de T donc la proba c'est l'integrale de la densite sur [-00,t]
2.3 Fct de repartition := P(T<=t) = Somme sur n P(T<=t| N=n)

Pour le reste, faudrais que je reflechisse un peu

si tu a besoin que je devellope plus ce que j'ai fait n'hesite pas a demander

1.1/ T = X_n il me semble. Soit T la limite de X_k quand k tend vers n.

1.2/ Pour end éduire, je sais pas! Sinon pour la densité de probabilité, il faut chercher la fonction f(x)>0 telle que:

intégr.(-oo à +oo) f(t).dt = 1
Puisque cette variable aléatoire suit une loi exponentielle alors:

P( X < T) = intégr. (-oo à T) lambda*exp(-lambda.t).dt
Il faut donc primitiver, et ça donnera un truc du genre:
P( X < T) = intégr. (0 à T) lambda*exp(-lambda.t).dt = 1-exp(-lambda.t)

1.3/ E[T]? L'espérance mathématique?

Puisque lambda > 0 et E(x) = 1/ lambda alors E existe (je pense)
Ensuite,
E[T] = intégr.(0 à T) t*f(t).dt

C'est tout ce que je sais faire (ou pas)!

Chaud un TS qui (tente d') aide(r) un futur ingénieur
C'est quelle école d'ingénieur déjà?

tout d'abord merci de vos réponses!

1.1, on est d'accord, T=max de l'ensemble des Xk tq pour tout Xk appartenant à [0,T], au moins un atome peut se désintégrer.

par contre pour la 1.2, je ne vois pas comment démontrer que c'est une variable aléatoire, je ne trouve pas le borélien adéquat et comment trouver P(T appartenant au borélien). Cette question est encore très floue. Sinon oui je pense que la densité est la loi exponentielle également.

la 1.3 il suffit de démontrer que l'intégrale de - l'infini à + l'infini de x*f(x) converge, où f(x) représente la densité. E[T] est l'espérance mathématique.

la 2.1 j'ai écrit P(N-1=k) = exp(-µ)*(µ^k)/k!
D'où P(N=k+1) = exp(-µ)*(µ^(k+1))/(k+1)! ???????
Donc N suit également une loi de Poisson? pas de pièges???

la 2.2 alors là c'est la galère il m'est impossible de déterminer P(T=<t), aucune idée de comment faire.Pareil pour P(N=n).

A partir de là, je ne peux plus rien faire, vu que je suis bloqué à la 2.2.

Sinon, serait-il possible de me détailler la méthode afin de démontrer que T est une variable aléatoire continue???

Et encore une fois, merci de bien vouloir m'aider, sans vous je serais dans la m***e!!!

PS: je suis en première année à l'Ecole des Mines de Douai

1.2Pour montrer que T est une var
il faut mq T^-1(B) appartient a la sigma-algebre de ton espace de proba où B est un borélien
Or T^-1(B) = Xk^-1(B) pour un certain Xk
et Xk^-1(B) appartient a la Sigma-algebre car Xk var
donc T^-1 var
elle est continue (car suit une loi exponentielle)

2.1 je panse pas qu'il y ait de piege

2.2 On regarde la proba conditionnelle P(T<=t|N=n)
cad on cherche la proba que tous les atomes soient désintégré s'il y en a n
or comme s'il y a n atomes on est dans le cas 1
il reste a calculer P(T<=t)
qui est égale à l'intégrale de -infini à t de la densité de T
je te laisse le calcul de l'integrale^^

je ne comprends pas bien ta réponse à la question 1.2, pourrais-tu développer un peu plus stp? (car nous n'avons pas vu la propriété que tu cites).

De plus pour la question 2.2, il ne fait pas utiliser la formule
P(A|B) = P(A inter B)/P(B)???? Dans ce cas ci il me manquerait P(A inter B) et P(B)....

Peut-être je suis dans l'erreur, car je le répète je suis une bille en proba.

En tout c'est c'est sympa de me consacrer un peu de temps!!!Merci encore!

pour information voilà la définition qu'on utilise pour définir une variable aléatoire continue:

"Une variable aléatoire X: Omega -> R est dite continue s'il existe une fonction f:R->R+ continue par morceaux telle que pour tout borélien B de R on ait:

P(X appartenant à B) = intégrale sur B de f(x)dx.

LA fonction f est alors appelée densité de probabilité de X"

A partir de cette définition, je n'arrive pas à démontrer sur T est une variable aléatoire continue, faute de méthode....

1.2
ok, je refait ce que j'ai fait avec ta def:

Soit B borélien,
P(T appartient à B)= P(Xk appartient à B)
pour un certain Xk (le max)
or Xk suit une loi exponentielle, d'où:
P(Xk appartient à B) = integrale sur B de f(x)dx
avec f(x) densité de la loi exponentielle
c'est la fonction f recherchee

en gros, consiste à dire que T suit la meme loi que les Xk

pour la question 2.2, j'utilise plutot "l'intuition" de ce qu'est une proba conditionnelle
a savoir P(A|B) = P(A) si B est vrai
Mais c'est vrai que pour le faire rigoureusement il faudrait utiliser ta formule.
l'ennui que j'ai etant que vaut P(N=n)?...

tout d'abord merci beaucoup pour la question 1.2, j'ai compris où tu voulais en venir.

Concernant la question 2.2, et ma formule, c'est qu'il nous manque des données, comme tu l'as dit P(N=n) (P(... inter ...) comme tu l'as dit nous ramènerait au cas de la question 1 donc pas de soucis de ce côté là). Peut-on parler dans ce cas d'équiprobabilité? à savoir que P(N=n) = 1/n, tout comme, par exemple, P(N=3)=1/n???? (n possibilités vu que n appartient à N* )

Encore une fois, merci de ton aide qui m'est très précieuse.

PS: tu fais quoi comme études, tu me sembles bien fort en math!

euh, je viens de dire une grosse bêtise!!!

On a facilement P(N=n), car comme précisé dans l'énoncé, N-1 suit la loi de poisson. On a dit que N suivait également la loi poisson et on a posé:
P(N=k+1) = exp(-µ)*(µ^(k+1))/(k+1)!
Or k+1 est une variable muette, donc on a directement P(N=n).

Ai-je raison? si je me trompe, merci de le signaler.

En tout cas si c'est ça bah le problème est débloqué!

oui, c'est bien ça!
j'aurais du relire l'énoncé

il ne reste plus qu'à appliquer la formule des proba conditionnelle et tu trouves le 2.2

PS: comme etudes, je fais un master en mathématiques

héhé ceci explique cela, en tout cas merci beaucoup pour ton aide, tu ne peux pas t'imaginer comment tu m'as débloqué!

Maintenant grâce à toi je vais pouvoir regarder les trois dernières questions!

Merci sincèrement de ton aide, passe une bonne soirée.

de rien, ce fut un plaisir^^

bonne soirée a toi aussi!

Attention, le raisonnement suivant n'est pas correct :

"P(T appartient à B)= P(Xk appartient à B)
pour un certain Xk (le max)
or Xk suit une loi exponentielle, d'où:
P(Xk appartient à B) = integrale sur B de f(x)dx"

P(T appartient à B)= P(max(Xk) appartient à B) et c'est tout ce qu'on peut dire pour B un borélien quelconque.
Il faut, pour faire le calcul, utiliser la fonction de répartition de T : F(x)=P(T<=x). Si F est C1 alors T est une va continue et la densité de T est la dérivée de F. Pour étudier F, il faut traduire l'événement {T<=x} en fonction des Xk

Bonjour à tous, et encore une fois merci de vos réponses.
Une personne à qui j'ai demandé également de l'aide m' a annoncé le raisonnement suivant, pour la question 1.2:

Soit F la fonction de répartition de T, F_k celle de X_k.

F(t) := P(T <= t) = produit P(X_k <= t) (en supposant l'indep.)
= F_1 (t)^n (les X_k ont même loi que X_1)
= 1(t>=0) * [1 - exp(-lambda * t)]^n

En derivant F on trouve la densite f de T:

f(t) = 1(t>=0) * n * lamba * t * exp(-lambda*t) * [1 - exp(-lamba * t)]^(n - 1)

C'est le T' := min{ X_k, 1 <= k <= n } qui suit une loi Exp(n * lambda). Ca se demontre de la meme facon en remarquant que {T' > t } = intersection des {X_k > t}.

Mais T NE suit PAS une loi exponentielle (ok, sauf si n = 1), c'est ce que montre dans le 1.2.

C'est ce que tu veux signaler tantale? que T ne suit pas la loi exponentielle comme Xk????

Pour la question 2.3, pour moi, la question 1 représente T<=t inter n=N, tandis que la question demande T<=t sachant n=N....
donc on utiliserait la formule P(A|B) = P(A inter B)/P(B) non???

petit up ^^