Bonjour à tous,
J'ai un exercice dont je ne vois pas trop comment m'y prendre :

Soit f : [a,b] R (ensembles des réels) dérivable sur [a,b] telle que f(a)=f(b)=0 , f'(a)>0 f'(b)>0

1. Montrer qu'il existe c appartenant à ]a,b[ f(c)=0,

2. Montrer qu'il existe c1,c2 appartenant à ]a,b[ avec c1<c<c2 telle que f'(c1)=f'(c2)=0

Je pense que je dois utiliser le théorème de Rolle, mais je sais pas trop comment mettre tout cela en forme

Merci par avance

La 1 c'est le théorème des valeurs intermédiaires, et la 2 c'est en effet Rolle, sur 2 segments bien choisis. J'essaie de rédiger ça proprement !

Pour la 1, le but du jeu est de montrer que :
-il existe x tq f(x)>0
-il existe y tq f(y)<0
Le TVI nous permettra ensuite de conclure.

Pour montrer l'existence de x, il faut se souvenir que la dérivée en a est la limite du taux d'accroissement. Et comme celle-ci est strictement positive, il existe un réel x tel que le taux d'accroissement entre a et x soit strictement positif. On peut alors De même, on peut montrer l'existence de y.

Pour la 2, trivial avec le théorème de Rolle. Il suffit de l'appliquer d'abord entre a et c, puis entre c et b.

Disons que le but est de montrer que dans un voisinage à droite de a il existe x1 tq f(x1) > f(a) donc f(x1) > 0 et idem, dans un voisinage à gauche de b, il existe x2 tq f(x2) < f(b) donc f(x2) < 0, on applique le TVI et c'est gagné.

Mince trop lent

Pas grave XircuiT^^

Pour la 1 je voyais pas comment montrer que l'existence de ce x et y.

En tout cas je vous remercie tous les deux !!