Bonjour à tous!

Un petit exo qui me plonge dans le désespoir!

On considère la transformation f du plan qui, à tout point M(x,y), associe le point M'(x',y') tel que:
Système: x' = -4x/5 + 3y/5 + 12/5
y' = 3x/5 + 4y/5 - 4/5
1. Démontrer que l'ensemble des points invariants de f est une droite D. En déterminer un repère (A, vecteur(u)).
2. Démontrer que:
a. le milieu de [MM'] appartient à D.
b. les vecteurs MM' et u sont orthogonaux.
3. En déduire la nature de f.

Cet exo me dégoute lol, je bn'arrive pas à le résoudre!
Merci pour votre aide éclairée!

1/ Points invariants: x=x' et y=y'
2/ a.Démontrer que le milieu de [MM'] appartient à D <=> démontrer que D est médiatrice de [MM'] <=> Pour tout point Z de D, ZM=ZM'
b. Les vecteurs MM' et u sont orthogonaux. Produit scalaire.
3/ Je pense que c'est une homographie.

Merci mon bon ska mais:

x=x' et y=y' me conduisent à 0=0 donc impossible!

Bon c'est trop chaud j'ai pas encore fait les homothéties/translations mais ça doit être un truc comme ça

vecteur MM'

xMM' (-9x+3y+12)/5
yMM' (3x-y-4)/5

Or 3x et -9x, -y et 3y, -4 et 12 sont proportionnels ainsi MM' détermine une droite de coefficient directeur -1/3

Skayah Je ne suis pas d'accord avec tes équivalences du 2/a. Je pense plutôt qu'il faut utiliser les coordonnées du milieu de [MM'] et montrer qu'elles sont solutions de l'équation de D.
Mais je ne suis pas certain, parce que je ne vois pas l'intérêt du repère (A,u) dans ce cas.

Matt => Tu parle des coordonnées de MM'?

Matt-IGN a raison : il faut voir que les 2 équations obtenues sont proportionnelles, et que la solution du système n'est pas un point mais une droite dont l'équation est celle(s) du système.

Okay mais je comprends pas sa notation!

Bah calcule les coordonnées du vecteur MM' en faisant (x'-x;y'-y)

Enfin c'est ce que j'aurais fait mais bon

Pas besoin de calculer MM', il suffit de dire que x = x' et y = y' (même si c'est vrai que ça revient à dire que MM' est le vecteur nul).

Je ne saisis pas tout ce que vous avez dit! Vous pouvez me rééxpliquer comme si vous n'aviez rien dit lol! Mais merci pour vos réponses en tout cas!

Récapitulons: Je dis que x = x' et que y = y' et comment j'en déduis que c'est une droite l'ensemble des points?
Ensuite pour les autres on verra après lol

Tu as fait x = x' et y = y'. Tu as obtenu 2 équations. Si tu regardes bien tu verras que ces 2 équations sont proportionnelles et ne sont donc en fait qu'une seule équation (ben oui, x + y = 1 ou 2x + 2y = 2 c'est la même chose).
Ce qui veut dire que la solution du système est la droite dont l'équation est celle(s) du système que tu as trouvé.

Merci j'ai compris dunadan!
Tu es un dieu!

Sinon pour la suite?

2)a) A mon avis il faut exprimer les coordonnées du milieu de [MM'] en fonction de x et y. Puis tu regardes si ces coordonnées vérifient bien l'équation de D.

b) Comme l'a dit Skayah, un simple produit scalaire devrait suffire.

3) Plutôt facile.

Merci beaucoup!

Qu'entends tu par "Puis tu regardes si ces coordonnées vérifient bien l'équation de D. "?

Pour la dernière question, je n'ai pas vu les homographies (cf skayah lol) mais peut-être n'est ce qu'un cas particulier de l'homothétie?

"Qu'entends tu par "Puis tu regardes si ces coordonnées vérifient bien l'équation de D. "?"
Soit I le milieu de [MM']. Tu vérifies que xI et yI sont bien solutions de l'équation de D.

"Pour la dernière question, je n'ai pas vu les homographies (cf skayah lol) mais peut-être n'est ce qu'un cas particulier de l'homothétie?"
Ce n'est pas une homothétie. C'est quelque chose de bien plus simple.

Merci! Pour la dernière je vais pas toutes les essayer mais bon!

Translation? mdr

Merci à tous, vous me sauvez bien la vie sur ce coup (comme d'hab)

Déjà tu connais beaucoup de transformations dont l'ensemble des points invariants est une droite ?

Ah merde lol!
Que je suis con: La symétrie orthogonale!