bonjour,
j'ai un problème consernant un de mes devoir maison de maths voici l'énoncé :

On suppose que, pour tout réel a,

cos 5a = 16 cos^5a - 20cos^3a + 5cos a

1. Vérifier que, pour tout réel x,

16^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x+1) (4x² - 2x - 1)²

2. On pose a = pi/5. Montrer que x = cos a est une solution de l'équation

Pouvez vous m'aider pour la question 2?

merci d'avance

4x² - 2x - 1 = 0

Montrer ensuite que x = (1 + rac5 ) / 4

merde il y a un problème dans mon mess

la question 2 est donc:

On pose a = pi/5. Montrer que x = cos a est une solution de l'équation 4x² - 2x - 1 = 0

Montrer ensuite que x = (1 + rac5 ) / 4

Il faut te servir des deux égalités là:
16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x+1) (4x² - 2x - 1)²

cos 5a = 16 cos^5a - 20cos^3a + 5cos a

En effet si tu poses x=cosa, tu peut écrire:

16(cosa)^5-20(cosa)^3+5cosa+1=(cosa+1)(4(cosa)²-2c
osa-1)²

Or tu sais que cos 5a = 16 cos^5a - 20cos^3a + 5cos a
Donc cos5a+1=(cosa+1)(4(cosa)²-2cosa-1)²

Pour a=Pi/5, cos5a=-1, donc cos5a+1=0, soit

(cosa+1)(4(cosa)²-2cosa-1)²=0

Or un produit de facteur n'est nul que si l'un des facteurs est nul, or cosa+1 ne vaut pas 0, donc cos a est une solution de

4x²-2x-1=0.

Pour la suite il te suffit de faire le discriminant du polynôme

P=4x²-2x-1, qui te donnera 2 racines possibles pour le polynôme, en t'intéressant au signe de cos Pi/5 tu pourras conclure.

Au cas où tu n'aurais pas vu les discriminants tu peux factoriser 4x²-2x+1 à la main, mais bon c'est relou...