Exercice 1 (national)
Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.
La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.
Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
Solutions
Solution exercice 1
On notera vf la vitesse de la fourmi et vc la vitesse de la colonne.
1ère méthode :
Soit A la position initiale de la queue de la colonne, B la position initiale de la tête de la colonne (= la position finale de la queue de la colonne), C la position finale de la tête de colonne.
Considérons le point P, situé entre B et C, où la fourmi ravitailleuse rejoint la tête de la colonne : cette fourmi a alors parcouru la distance 50+BP et pendant ce temps là, la tête de la colonne, elle, a parcouru la distance BP. On a donc (50+BP)/vf=BP/vc(= inverse de la durée commune de ces 2 trajets). Ensuite la fourmi ravitailleuse va aller de P à B et donc parcourir la distance PB alors que la tête de colonne, elle, pendant ce temps là va aller de P à C : on a donc PB/vf=PC/vc. Comme PC=50-BP on a finalement la relation (50+PB)/BP=BP/(50-PB) ce qui donne tout de suite BP^2=1250 soit BP=25*rac(2) et ainsi la distance totale parcourue par cla fourmi ravitailleuse est AB+BP+BP=50*(1+rac(2)).
On peut présenter les choses dans un tableau, en mettant sur une même ligne les distances parcourues simultanément par la fourmi ravitailleuse et la tête de la colonne :
la fourmi parcourt la tête de colonne parcourt
pendant l'aller de la fourmi à la tête de la colonne 50+BP BP
pendant le retour de la fourmi en queue de colonne BP 50-BP
Les élèves ayant choisi cette présentation ont évidemment fait le produit en croix (ce qui leur a donné la bonne valeur de BP) , mais il aurait fallu tout de même faire remarquer que cela est justifié par le fait que les 2 vitesses sont constantes (voir plus haut).
2ième méthode
Soit t1 l'instant au bout duquel la fourmi arrive en tête de la colonne : la tête de la colonne ayant parcouru vc*t1, la fourmi a alors parcouru 50+vc*t1 et donc vf*t1=50+vc*t1.
Soit t2 la durée que met la fourmi pour revenir à la queue de la colonne : pendant cette durée la tête de la colonne avance de vc*t2 et la fourmi recule de vf*t2. Mais au bout de cette durée la foumi s'est éloignée de 50 cm de la tête de la colonne et donc vc*t2+vf*t2=50.
Et bien entendu vc*(t1+t2)=50 puisque la tête de la colonne a avancé pendant la durée t1+t2 de 50 cm.
Il ne reste plus qu'à "triturer" les 3 équations. Des 2 premières on tire t1 et t2 que l'on reporte dans la 3ième : vc*(50/(vf-vc)+50/(vf+vc))=50 soit 2*vc*vf/(vf^2-vc^2)=1. En posant x=vf/vc on obtient 2*x/(x^2-1)=1 soit x^2-2*x-1=0 qui a pour seule solution positive x=1+rac(2) : la distance parcourue par la fourmi est donc vf*(t1+t2)=vf*50/vc=50*x=50*(1+rac(2)) soit environ 120,7cm.
Rem : c'est un exercice que l'on trouve dans de vieux livres de problème, parfois présenté en remplaçant la colonne des fourmis par une armée de 50km de long et la fourmi ravitailleuse par un cavalier partant de l'arrière-garde et allant porter un message en tête de l'armée.
