Pour montrer qu'une suite (de nombres ou de fonctions par exemple) converge dans un certain espace, on cherche souvent à majorer en valeur absolue la quantité Un-l, où l est la limite. Mais, pour cela, il est nécessaire de connaitre la limite ou en tout cas d'en avoir un idée ce qui n'est pas souvent évident. Cauchy a montré qu'en se placant dans R muni de sa distance (ou norme) euclidienne que si on prends p < q assez grand la quantité Up + Up+1 +...+ Uq-1 + Uq devient arbitrairement petite. Cauchy venait d'introduire la notion de suite de Cauchy. Mais cette propriété n'est pas nécessairement vraie avec n'importe quelle distance (ou norme) de R. On appelle ainsi un espace complet un espace dans le lequel toute suite de Cauchy converge (pour la norme de l'espace) . Ainsi, dans un espace complet, pour démontrer qu'une suite converge, on a juste à démontrer la propriété de Cauchy. Mais où trouver des espaces complets et comment les construire? Divers propriétés montrent en autre que si un sous espace fermé d'un espace complet est complet. Supposons un espace E non complet. Peut-on le "rendre" complet. On introduit un espace E' complet de telle facon que l'application E-->E' est une isométrie. Cet espace est unique à isométrie près. Maintenant, que faire d'autres avec les complets? La propriété de Cauchy permet de montrer et d'utiliser le lemme de Baire, utile en analyse fonctionnelle, le théoreme du point fixe de Picard, fondamental en analyse et dans les équations différentielles et la projection sur un convexe fermé non vide (dans un espace de Hilbert, c'est à dire un complet muni d'un produit scalaire et donc d'une norme induite).

Wouah c'est du lourd!

T'aurais pu lire ton copié/collé, c'est plein de fautes et du coup tu parais plus inculte qu'intelligent

________________________________________
Ma vidéo du moment :
http://youtube.com/watch?v=96Fm5SPsjD0 (Les Kiss Kool, à voir absolument )

"Suicide par défénestration : encore une victime de Qt "

Désolé, mais j'ai pas copié/collé.

Marrant, tu ne sais plus faire de négation depuis que tu aurais écrit ton petit texte

Hein: question:

J'aimerais que ceux qui ont le niveau Bac+2 me disent ce qu'ils en pensent. Pas au niveau des fautes d'orthographe, mais au niveau du sens mathématique

Tu es en sup non ? C'est quoi le but de ce paragraphe ? Tu dois / veux faire quoi exactement ?

Mathématiquement
"Cauchy a montré qu'en se placant dans R muni de sa distance (ou norme) euclidienne que si on prends p < q assez grand la quantité Up + Up+1 +...+ Uq-1 + Uq devient arbitrairement petite."

Ca veut rien dire, d'abord parce que ça manque de quantifieurs, et parce que ça manque de lien logique, c'est une définition ? De la manière dont tu le dis on dirait que c'est juste une conséquence (de quoi ?), et c'est un peu pareil pour le reste!

"Peut-on le "rendre" complet. On introduit un espace E' complet de telle facon que l'application E-->E' est une isométrie. Cet espace est unique à isométrie près."

Euh j'ai pas compris l'intérêt de ce passage, on a fait une isométrie, certes, mais est-ce que l'image de l'espace par cette isométrie est un espace complet ?

Je suis en Agreg, je prépare un oral

"Cauchy a montré qu'en se placant dans R muni de sa distance (ou norme) euclidienne que si on prends p < q assez grand la quantité Up + Up+1 +...+ Uq-1 + Uq devient arbitrairement petite."

Ca veut rien dire, d'abord parce que ça manque de quantifieurs, et parce que ça manque de lien logique, c'est une définition ? De la manière dont tu le dis on dirait que c'est juste une conséquence (de quoi ?), et c'est un peu pareil pour le reste!

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Bah ca parait clair. J'ai écris la phrase sans quantificateur, mais on peut le faire.
pour tout epsilon >0, il existe N tel que pour tout p,q > N, abs(Up+...+Uq) < epsilon.
Autrement sit si tu prends p, q assez grand, tu peux rendre la quantité aussi petite que tu veux.

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Les 10 derniers messages sur ce sujet :
ian-malcolm Posté le 28 mars 2008 à 22:08:25
Pour montrer qu'une suite (de nombres ou de fonctions par exemple) converge dans un certain espace, on cherche souvent à majorer en valeur absolue la quantité Un-l, où l est la limite. Mais, pour cela, il est nécessaire de connaitre la limite ou en tout cas d'en avoir un idée ce qui n'est pas souvent évident. Cauchy a montré qu'en se placant dans R muni de sa distance (ou norme) euclidienne que si on prends p < q assez grand la quantité Up + Up+1 +...+ Uq-1 + Uq devient arbitrairement petite. Cauchy venait d'introduire la notion de suite de Cauchy. Mais cette propriété n'est pas nécessairement vraie avec n'importe quelle distance (ou norme) de R. On appelle ainsi un espace complet un espace dans le lequel toute suite de Cauchy converge (pour la norme de l'espace) . Ainsi, dans un espace complet, pour démontrer qu'une suite converge, on a juste à démontrer la propriété de Cauchy. Mais où trouver des espaces complets et comment les construire? Divers propriétés montrent en autre que si un sous espace fermé d'un espace complet est complet. Supposons un espace E non complet. Peut-on le "rendre" complet. On introduit un espace E' complet de telle facon que l'application E-->E' est une isométrie. Cet espace est unique à isométrie près. Maintenant, que faire d'autres avec les complets? La propriété de Cauchy permet de montrer et d'utiliser le lemme de Baire, utile en analyse fonctionnelle, le théoreme du point fixe de Picard, fondamental en analyse et dans les équations différentielles et la projection sur un convexe fermé non vide (dans un espace de Hilbert, c'est à dire un complet muni d'un produit scalaire et donc d'une norme induite).
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Jake_Sown Posté le 28 mars 2008 à 22:10:06
Wouah c'est du lourd!
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Chaos_Clad Posté le 28 mars 2008 à 22:16:28
T'aurais pu lire ton copié/collé, c'est plein de fautes et du coup tu parais plus inculte qu'intelligent

________________________________________
Ma vidéo du moment :
http://youtube.com/watch?v=96Fm5SPsjD0 (Les Kiss Kool, à voir absolument )

"Suicide par défénestration : encore une victime de Qt "
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ian-malcolm Posté le 28 mars 2008 à 22:17:19
Désolé, mais j'ai pas copié/collé.
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Kinguibox2 Posté le 28 mars 2008 à 22:19:07
Marrant, tu ne sais plus faire de négation depuis que tu aurais écrit ton petit texte
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ian-malcolm Posté le 28 mars 2008 à 22:21:55
Hein: question:

J'aimerais que ceux qui ont le niveau Bac+2 me disent ce qu'ils en pensent. Pas au niveau des fautes d'orthographe, mais au niveau du sens mathématique
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picto Posté le 28 mars 2008 à 22:37:58
Tu es en sup non ? C'est quoi le but de ce paragraphe ? Tu dois / veux faire quoi exactement ?

Mathématiquement
"Cauchy a montré qu'en se placant dans R muni de sa distance (ou norme) euclidienne que si on prends p < q assez grand la quantité Up + Up+1 +...+ Uq-1 + Uq devient arbitrairement petite."

Ca veut rien dire, d'abord parce que ça manque de quantifieurs, et parce que ça manque de lien logique, c'est une définition ? De la manière dont tu le dis on dirait que c'est juste une conséquence (de quoi ?), et c'est un peu pareil pour le reste!

"Peut-on le "rendre" complet. On introduit un espace E' complet de telle facon que l'application E-->E' est une isométrie. Cet espace est unique à isométrie près."

Euh j'ai pas compris l'intérêt de ce passage, on a fait une isométrie, certes, mais est-ce que l'image de l'espace par cette isométrie est un espace complet ?
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si f est l'isométrie, f(E) est dense dans E'. Mais à priori, on a construit l'isométrie de telle facon que E' soir complet... Enfin, j'avoue que j'ai du mal à comprendre le fond de ce truc

oups, désolé

"Mais cette propriété n'est pas nécessairement vraie avec n'importe quelle distance (ou norme) de R. "

je suis pas d'accord...

déjà, une distance n'est pas une norme. de toute norme on peut déduire une distance, la réciproque est fausse.

Deuxièmement, l'équivalence des normes en dimension finie, nous assurre que si cette "propriété" (qui est en fait, énoncé plus clairement, le critère de Cauchy relatif à l'existence d'une limite) est vrai pour une norme donnée de R, alors elle l'est également pour toute autre norme définie sur R.

Arg j'ai cru à cause de l'autre topic (et je n'ai pu me résoudre à croire l'âge de la carte de visite )

En fait je crois que les gens qui t'examineront sauront de quoi tu leur parles non ? Donc ce n'est peut-être pas la peine de leur rappeler ce qu'est une suite de Cauchy.

sd460 Posté le 28 mars 2008 à 23:22:10
"Mais cette propriété n'est pas nécessairement vraie avec n'importe quelle distance (ou norme) de R. "

je suis pas d'accord...

déjà, une distance n'est pas une norme. de toute norme on peut déduire une distance, la réciproque est fausse.

Deuxièmement, l'équivalence des normes en dimension finie, nous assurre que si cette "propriété" (qui est en fait, énoncé plus clairement, le critère de Cauchy relatif à l'existence d'une limite) est vrai pour une norme donnée de R, alors elle l'est également pour toute autre norme définie sur R.

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Pour le permierement, si je mets une norme, j'ai un espace normé. Si je mets une distance, j'ai un espace métrique. J'ai une structure différente, mais ca change pas au probleme.
Dans un cas j'aurais un Banach, de l'autre cas, un espace métrique complet.
Pour le deuxieme, ouais t'as raison.

il faut le préciser quand meme, ne serait-ce que pour etre sûr que le jury a bien compris que tu as compris.