Salut, j'ai un DS de maths samedi sur les developpements limités et j'ai totalement rien compris aux divisions par les puissances comparées.

Je comprends pas comment on peut diviser 1 par (1+x).

J'ai 2 exemples: 1/(1+x)= 1-x +x² -x^3
(1+x²)/(x²+2x+2)=1/2 -(1/2)x +(3/4)x^3-(1/2)x^3

Ca serait cool si quelqu'un pouvait m'expliquer étape par étape comment on arrive à ces résultats Au moins pour le 1er.
Merci

utilise la formule de Taylor : au voisinage de 0, f(a+x)=somme(f(n)(a)*x^n/n!,n=0 à N) + un reste en O(N+1)

f(x)=1/(1+x)
f'(x)=-1/(1+x)²
f''(x)=2/(1+x)^3
...
donc f(n)(0)=(-1)^n*n!
d'où ton expression de DL

Cette formule est la base des DLs, il y en a plusieurs variantes selon l'expression du reste désirée (O(.), o(.), reste intégral, ...).

Après, tu peux additionner, multiplier, diviser, composer des DLs, en faisant gaffe de bien utiliser des ordres compatibles pour chacun des DLs intermédiaires (pas multiplier un DL à l'ordre 4 par un DL à l'ordre 2 pour obtenier un DL à l'ordre 4...).

Pour le deuxième : il manque le voisinage : 0, 12, racine de 2, - l'infini ???
Souviens-toi que l'expression d'un DL est indissociable du voisinage; les fonctions ont un certain DL en 0, un autre en 12.89, un autre en +oo...

Et pratique, pratique, pratique!!!