Salut à tous, j'ai un système à résoudre, et je suis bloqué:

{2^x * 2^y = 8.
{2^x + 2^y = 5V2.

De la première ligne, j'arrive à x+y = 3.
Soit x= 3-y ou y = 3-x.
En remplaçant dans la ligne suivante, par exemple x par 3-y, les y vont s'éliminer, et je pourrai finalement pas trouver sa valeur...
Quelqu'un sait comment faire?
Merci

Up

Oui je sais, mais en développant le calcul, on arrive à un truc où ils s'annuleront de toute façon.
Je suis passé par exp(y(ln(2)) pour garder finalement que yln(2), et finalement ça s'annulera, à moins que mon calcul soit faux

C'est quoi ton système exactement ?

Là ou j'en suis ou le système de départ?
Celui de départ c'est les deux {{ dans mon 1er post

Là où t'en es.

Je redétaille pas la première équation je suis sur que c'est bon.
Donc on arrive à x+y=3

Je remplace par exemple y par 3-x dans la seconde:

2^x + 2^(3-x)= 2V5

exp(x(ln(2)) + exp((3-x)ln(2)) = exp(ln(2V5))

On déduit: xln2 + 3ln2 -xln2 = ln (2V5)

Oui je vois...

Je suppose que pour arrivé de l'avant derniere ligne a la derniere ligne tu a enlevé les exp.

Sauf que comment tu les as enlevé ?

En mettant ln partout...

C'est de là d'où viens ton erreur...le ln ne s'applique par au membre de la sommme a gauche mais a TOUT...

J'ai comme l'impression que j'ai fait une connerie: exp(x) + exp(y) = exp a ça veut pas dire que x+y=a si? xD

Pour etre clair, peut on dire que :

exp(a) + exp(b) = exp(c)

permet de dire que

a+b=c

... ?

Oui mais je dois faire quoi alors? :/

Justement...c'est bien ce que je me demande

Je vois pas dans l'immédiat j'ai essayé quelques truc mais c'était infructueux...

Euh ben non justement, j'ai confondu avec la propriété des puissances, sauf que normalement c'est pas un + entre les termes, mais un *
Donc ma méthode est fausse.

Je sais vraiment pas...faut que j'aille dormir sinon demain je vais avoir du mal...

Bonne nuit et bonne chance

Merci quand même, je demanderai aux autres demain ;)

Je panse que l'on a pas besoin de passer par les exponentielle/logarithme:

on considere la 2eme equation:
2^x+2^y = 5v2

on a une racine de 2, donc x,y vont s'ecrire comme:
y= a+1/2
x=b+1/2
(le 1/2 est la pour obtenir la v2)

de plus, on a 5v2, cad 5 doit s'obtenir comme somme de puissance de 2
la seule possibilité est : 5 = 2^2+1

cad la solution est:
x = 1/2
y = 2 + 1/2

(en remplacant on voit que la solution est correcte tant pour la premiere que la 2eme equation)

j'espere que ma methode est claire.
Par contre pour un systeme similaire c'est pas sur qu'elle fonctionne

Ta méthode marche mais j'avoue que j'ai pas compris comment t'arrives à y=a+1/2 et x=b+1/2

Ah si pardon j'ai compris, cependant à mon avis c'est pas très rigoureux le raisonnement avec "de plus, on a 5v2, cad 5 doit s'obtenir comme somme de puissance de 2
la seule possibilité est : 5 = 2^2+1 "

c'est vrai que ce n'est pas tres rigoureux, mais je donnait juste "l'intuition". Apres, on peut faire les détails:

Soit f la fontion f(x) = 2^x + 2^(3-x)
on a f'(x)=2^x*ln2 - 2^(3-x)*ln2
f''(x)= 2^x*ln2 * ln2 + 2^(3-x) *ln2*ln2

on a f''(x)>0 => concavité de f tourne vers le haut
et f'(x) strictement croissante
f'(x)-->-infini quand x-->-infini
f'(x)--> +infini quand x-->+infini

par le thm des valeurs intermediaire, il existe t tq f(t)=0
de plus f' strictement croissant donc t est unique

et pour tout x>t, f'(x)>0
pour tout x<t, f'(x)<0

la fonction f s'organise "un peu comme x^2" mais avec une symetrie autour du point t

si on regarde,l'equation, il s'agit de f(x) = 5
on a donc 2 solutions (par la description de f faites ci-dessus)
qui sont (trouvé par le raisonnement de mon precedent post):

x= 1/2 (donc y= 2+1/2)
et
x= 2+1/2 (donc y = 1/2)

Si il y a encore des choses a detailler, je le ferais eventuellement plus tard...